Side:Teknisk Elasticitetslære.djvu/42

Paa den anden Side faas af Ligningerne (1), naar man gaar ud fra Hovedinertimomenterne som bekendte:

$I_{y'}=I_{1}\sin ^{2}\alpha +I_{2}\cos ^{2}\alpha$,

eller

$i_{y'}={\sqrt {{i_{1}}^{2}\sin ^{2}\alpha +{i_{2}}^{2}\cos ^{2}\alpha }}$,

altsaa

$i_{y'}=OC$.

OD og Y'-Axen ere et Par konjugerede Diametre, altsaa haves:

$\operatorname {tg} u.\operatorname {tg} v=-{\frac {{i_{1}}^{2}}{{i_{2}}^{2}}}$;

endvidere er $v=90^{\circ }+\alpha$, altsaa $\operatorname {tg} v=-\cot \alpha$ og

$\operatorname {tg} u={\frac {{i_{1}}^{2}}{{i_{2}}^{2}}}.\operatorname {tg} \alpha$.

Nu er $CD=OC\operatorname {tg} (u-\alpha )=i_{y'}.\operatorname {tg} \alpha {\frac {({i_{1}}^{2}-{i_{2}}^{2})\cos ^{2}\alpha }{{i_{1}}^{2}\sin ^{2}\alpha +{i_{2}}^{2}\cos ^{2}\alpha }}$; Nævneren her er lig i_y'², hvorved:

$CD={\frac {1}{2}}\sin 2\alpha .{\frac {{i_{1}}^{2}-{i_{2}}^{2}}{i_{y'}}}={\frac {{\frac {1}{2}}\sin 2\alpha (I_{1}-I_{2})}{i_{y'}.F}}$.

Paa den anden Side faas af den sidste af Ligningerne (1):

$Z_{x'y'}={\frac {1}{2}}(I_{1}-I_{2})\sin 2\alpha$,

altsaa

$Z_{x'y'}=F.i_{y'}.CD$,

eller

$z_{x'y'}=CD$.

Idet vi i Fig. 32 have forudsat I₁ > I₂, ses CD af et af Udtrykkene ovenfor at være positiv, naar $\sin 2\alpha$ er positiv, altsaa naar $\alpha <90^{\circ }$; dette er Tilfældet, naar D's y'-Koordinat er positiv.

Kender man I_x, I_y og Z_xy for et Par vilkaarlige retvinklede Axer, kan man i hver Ellipsekvadrant angive en Tangent og dens Røringspunkt, hvorved Inertiellipsen er bestemt; dernæst kan man ved Ellipsens Hjælp bestemme Inertimomenter og Centrifugalmomenter for vilkaarlige andre Axer.

Vi ville dernæst betragte Anvendelsen af skævvinklede Koordinater. Gaar man ud fra et retvinklet Koordinatsystem og drejer X-Axen $90^{\circ }-\omega$; til Stillingen X' (Fig. 33, Pl. 4), haves: