Side:Teknisk Elasticitetslære.djvu/78

ere proportionale, udtrykke den tilladelige Formforandring $\vartheta _{1}$ ved den tilladelige Spænding f, haves altsaa hertil:

$f=Gr\vartheta _{1}$,

og ved at indføre denne Værdi af $\vartheta _{1}$ i (7) findes:

$M_{v}={\frac {1}{2}}\pi fr^{3}$

(8).

til Bestemmelse af Dimensionerne.

For en hul cirkulær Cylinder med Radierne r₁ og r₀ haves:

$I_{p}={\frac {1}{2}}\pi \left({r_{1}}^{4}-{r_{0}}^{4}\right)$,

hvorved

$\vartheta '={\frac {2M'_{v}}{\pi G\left({r_{1}}^{4}-{r_{0}}^{4}\right)}}$

(7 a)

og

$M'_{v}={\frac {1}{2}}\pi f{\frac {{r_{1}}^{4}-{r_{0}}^{4}}{r_{1}}}$.

(8 a)

Sammenlignes en hul og en massiv Cylinder med samme Volumen, haves: $r^{2}={r_{1}}^{2}-{r_{0}}^{2}$, og sættes $r_{1}=nr$ (n > 1), faas: ${r_{0}}^{2}=(n^{2}-1)r^{2}$, ${r_{1}}^{2}+{r_{0}}^{2}=(2n^{2}-1)r^{2}$, og endelig: ${r_{1}}^{4}-{r_{0}}^{4}=(2n^{2}-1)r^{4}$. Man finder da Forholdet mellem Vridningsvinklerne for samme vridende Moment ($M_{v}=M_{v}'$):

${\frac {\vartheta }{\vartheta '}}=2n^{2}-1>1$,

altsaa er en hul Cylinder »stivere« end en massiv med samme Volumen (at et Legeme er i Besiddelse af stor Stivhed, vil sige, at dets Formforandring under Paavirkning af en given Kraft er lille). Paa samme Maade findes Forholdet mellem de vridende Momenter, som de to Cylindre kunne modstaa med samme tilladelige Fiberpaavirkning f:

${\frac {M_{v}}{M_{v}'}}={\frac {n}{2n^{2}-1}}<1$.

Bæreevnen er altsaa ogsaa størst for den hule Cylinder, men da $2n^{2}-1>{\frac {2n^{2}-1}{n}}$, er Fordelen ved at anvende en hul Cylinder større for Stivhedens end for Styrkens Vedkommende. Denne Sammenlignings Resultater ere paa Forhaand temmelig indlysende, idet Materialet i Nærheden af Cylinderens Axe kun bliver svagt paavirket og altsaa ikke gør synderlig Nytte.