Teknisk Elasticitetslære/10

by Asger Ostenfeld

§ 10. Bestemmelse af statiske Momenter. Summen af Kræfterne 1, 2 og 3's Momenter med Hensyn til C kan . bestemmes ved først at finde Resultanten R af Kræfterne ved Hjælp af en vilkaarlig Tovpolygon (Fig. 28, Pl. 3). Den søgte Momentsum er da lig R.r. Ved Ligedannethed findes imidlertid, idet man gennem C trækker en Linie parallel med R:

${\frac {y}{r}}={\frac {R}{h}}$ eller R.r = h.y.

h er Afstanden i Kraftpolygonen fra Polen til Resultanten R, y det Stykke, der afskæres paa Linien gennem C, parallel med R, af Tovpolygonsiden før 1 og efter 3.

For at finde Summen af et vilkaarligt Antal Kræfters statiske Momenter med Hensyn til C trækker man altsaa en Linie gennem C parallel med Kræfternes Resultant, maaler det Stykke y, der afskæres her af Tovpolygonsiderne før og efter de betragtede Kræfter, og multiplicerer dette med Afstanden i Kraftpolygonen fra Polen til Kræfternes Resultant.

h.y skal angives som Kraft × Længde (kg.cm); en af Størrelserne skal derfor maales paa Kraftmaalestokken, den anden paa Længdemaalestokken; det er ligegyldigt, hvilken man maaler som Kraft, hvilken som Længde.

Et Moment regnes positivt, naar det drejer i samme Retning som Viserne paa et Uhr (kaldes ofte: »til højre«), negativt, naar det drejer i den modsatte Retning.

Den angivne Konstruktion af Momenter har navnlig Betydning for parallele Kræfter. Som det nemlig vil fremgaa af det følgende, har man ofte Brug for Momentet af en Række paa hinanden følgende af Kræfterne i Systemet (ikke altid af dem alle) med Hensyn til forskellige Punkter, og naar Kræfterne ere parallele, har man da den Fordel, at Størrelsen h er konstant (Poldistancen).

I Fig. 29, Pl. 3, har man saaledes Momentet af Kræfterne 1—5 med Hensyn til Punktet C lig h.y, af Kræfterne 3—5 med Hensyn til C₁ lig h.y₁, af Kræfterne 2 og 3 med Hensyn til C₂ lig h.y₂.

I Fig. 13, Pl. 2, har man Momentet af Kræfterne A, 1, 2 og 3 med Hensyn til C lig h.y, af Kræfterne A, 1 og 2 med Hensyn til D lig h.y₁ o. s. v.

Idet h her er konstant og Momentet altsaa ligefrem proportionalt med y, behøver man nu ikke hver Gang at foretage Multiplikationen af y og h, men man kan danne sig en Momentmaalestok og lade det konstante h indgaa i Maalestoksforholdet. Hvis h er afsat efter Længdemaalestokken, bliver Momentmaalestokkens Enheder ${\frac {1}{h}}$ af Kraftmaalestokkens.

Ex.	Længdemaalestok: 1:50 (1cm = 0,5m).
	Kraftmaalestok: 1cm = 2ts.
	Poldistancen h = 2,5m.
	Momentmaalestok: 1cm = 5tsm.

Hvis Momentarmene maales i en bestemt skæv Retning, kan man finde Momenterne ganske paa samme Maade, blot at man nu skal maale Poldistancen h i samme Retning som Momentarmene.

Af det her om Momenter meddelte følger, at Ordinaterne y i en Tovpolygon til parallele Kræfter blive multiplicerede med n, hvis man dividerer Poldistancen h med n; Produktet h.y skal nemlig blive uforandret.

Ved Momentet af et plant Areal med Hensyn til en eller anden Axe forstaar man $\int xdF$, hvor dF betegner Arealelementet, x dets Afstand fra Axen. Denne Størrelse kan findes ved en Tovpolygon til Arealet som Belastningsflade; man inddeler Arealet i Strimler (Fig. 26, Pl. 4) parallele med Axen og tegner Kraft- og Tovpolygon (med Poldistance h₁) ganske som beskrevet under Tyngdepunktsbestemmelsen (§ 9). Det Stykke, der afskæres paa Axen mellem Tovpolygonsiderne før og efter de betragtede Arealelementer, er da proportionalt med Momentet.

Hvis de Længder, der i Kraftpolygonen repræsentere Størrelsen af Arealelementerne, kaldes P, medens Strimlernes Arealer ere $\Delta F$, haves $\Delta F=a.P$, idet 1cm ~ a cm². Har man, som i § 9 beskrevet, inddelt Arealet i Strimler med konstant Bredde og benyttet ${\frac {1}{n}}$ af disses Højde som Kraftstørrelse, er a lig n × den konstante Bredde. — Man har nu:

$h_{1}.y=\sum P.x$,

altsaa

$\sum aPx=\sum \Delta F.x=\int xdF=ah_{1}y$.

Momentet er af Dimensionen cm³; a, h₁ og y skulle altsaa alle maales som Længder.

I Fig. 26, Pl. 4, haves f. Ex. Momentet m. H. t. x-Axen af den Del af Skinneprofilet, der ligger over x-Axen, lig

$ah_{1}y=3\times 5\times 6,3=94,5cm^{3}$,

idet y her er Stykket 0—7 paa x-Axen.