Teknisk Elasticitetslære/20

by Asger Ostenfeld

§ 20. Relationer mellem Konstanterne for Normalspændinger og Forskydningsspændinger. Hidtil have vi betragtet Træk og Tryk for sig, Forskydninger for sig; i Virkeligheden optræde de imidlertid altid samtidigt.

Hvis vi saaledes tage et Prisme (Fig. 47, Pl. 5), der er paavirket til Træk eller Tryk efter sin Længderetning af en Kraft $P=\sigma F$, ensformig fordelt over Normalsnittet, saa vil der i alle skraa Snit optræde Forskydningsspændinger. I et Snit under Vinklen $\vartheta$ med Normalsnittet, altsaa med Areal $F\sec \vartheta$, er Spændingen i P's Retning lig ${\frac {P}{F\sec \vartheta }}=\sigma \cos \vartheta$. Ved Opløsning af denne efter Snittet og dets Normal findes, at dette Snit er paavirket af en Normalspænding $\sigma '$ og en Forskydningsspænding $\tau '$ bestemte ved:

$\sigma '=\sigma \cos ^{2}\vartheta$, $\tau '=\sigma \cos \vartheta \sin \vartheta ={\frac {1}{2}}\sin 2\vartheta$.

$\sigma '$ har Maximumsværdien $\sigma$ for $\vartheta =0$, Minimumsværdien 0 for $\vartheta ={\frac {\pi }{2}}$. $\tau '$ har Maximumsværdien ${\frac {1}{2}}\sigma$ for $\vartheta ={\frac {\pi }{4}}$, Minimumsværdien 0 for $\vartheta =0$ eller $\vartheta ={\frac {\pi }{2}}$. Sættes ${\frac {\pi }{2}}-\vartheta$ for $\vartheta$, faas Forskydningen i dette Snit $\tau ''=\tau '$, stemmende med den ovenfor beviste Sætning. I det følgende skulle vi navnlig gøre Brug af det Resultat, at i et Prisme, der er paavirket til Træk eller Tryk med Spændingen $\sigma$, vil den største Forskydningsspænding optræde i Snit, der danne 45° med Kraftretningen, og denne Maximumsværdi er: $\tau ={\frac {1}{2}}\sigma$.

Naar man dernæst undersøger et elementært Parallelopipedum ABCD (Fig. 48, Pl. 5), paavirket af Forskydningsspændingen $\tau$ i Fladerne BC og AD, vil man finde, at der i de forskellige Snit ogsaa optræder Træk- eller Trykspændinger. Under Forskydningens Indvirkning er Parallelopipedets Form bleven AEFD; Maalet for Forskydningen er

$\operatorname {tg} \phi ={\frac {CF}{CD}}$.

Diagonalen AC er kommen hen i Stillingen AF og er derved bleven forlænget Stykket CG, idet $FG\perp AC$ (den vinkelrette FG træder i Stedet for en Cirkelbue med Centrum A, idet Formforandringerne behandles som smaa Størrelser). Man har altsaa Forlængelsen pr. Længdeenhed:

$\epsilon ={\frac {CG}{AC}}={\frac {CF\cos \vartheta }{CD\operatorname {cosec} \vartheta }}={\frac {1}{2}}\operatorname {tg.} \phi \sin 2\vartheta$.

Variationen af $\epsilon$ for de forskellige Værdier af $\vartheta$ — i forskellige Snit — er givet herved. For $\vartheta =0$ og $\vartheta ={\frac {\pi }{2}}$ haves $\epsilon =0$; største og mindste Værdi af $\epsilon$ findes for $\vartheta =\pm {\frac {\pi }{4}}$, og Værdierne ere $\pm {\frac {1}{2}}\operatorname {tg.} \phi$. Forskydningen er altsaa altid ledsaget af Træk og Tryk; største Forlængelse og Forkortelse optræder i Retninger, der danne $\pm 45^{\circ }$ med Forskydningsretningen, og have Værdierne: $\pm {\frac {1}{2}}\operatorname {tg.} \phi$.

Relationen mellem Forskydningsspændingen $\tau$ og de største Træk- og Trykspændinger $\sigma _{max.}$ findes ved i Ligningen $\epsilon _{max.}=\pm {\frac {1}{2}}\operatorname {tg.} \phi$ at indføre:

$\sigma _{max.}=E\epsilon _{max.}$, $\tau =G\operatorname {tg.} \phi$,

hvorved ${\frac {\sigma _{max.}}{E}}=\pm {\frac {1}{2}}{\frac {\tau }{G}}$ eller $\tau =\pm 2{\frac {G}{E}}\sigma _{max.}$.

Naar man skal bestemme Dimensioner af et Legeme, der er paavirket til Forskydning, maa man selvfølgelig sørge for, at hverken den tilladelige Forskydning ($\operatorname {tg.} \phi$) eller den tilladelige Forlængelse ($\epsilon$) overskrides. Heraf følger, at den tilladelige Værdi af Forskydningen ($\operatorname {tg.} \phi$) højst maa være dobbelt saa stor som den tilladelige Forlængelse, eller idet Spændinger og Formforandringer her ere proportionale, at

$f\leq 2{\frac {G}{E}}.r$.

(4).

Herved kan man udlede den tilladelige Forskydningsspænding f af den tilladelige Træk- eller Trykpaavirkning r, hvis man kender G og E. Naturligvis gælder Relationen (4) kun for fuldstændig isotrope Legemer.

G og E kunne bestemmes ved Forsøg. Imidlertid kan man ad rent theoretisk Vej udlede en Relation mellem dem, saaledes som vi nu skulle se.

Vi betragte en Tærning ABCD med Kanten 1 (Fig. 49, Pl. 5) paavirket til Træk af Spændingen (Kraften) $\sigma$. Herved forlænges AB til $A_{1}B_{1}=1+\epsilon$ og forkortes AD til $A_{1}D_{1}=1-{\frac {\epsilon }{m}}$. Som vi ovenfor have set, optræder der i skraa Snit i Tærningen Forskydningsspændinger, som naa deres Maximum i Diagonalplanerne AC og BD. Disse danne oprindelig en ret Vinkel med hinanden, og et Maal for Forskydningen haves i Ændringen $\phi$ af denne rette Vinkel.

Idet $\angle BOB_{1}={\frac {1}{2}}\phi$, og $\operatorname {tg.} \alpha ={\frac {1-{\frac {\epsilon }{m}}}{1+\epsilon }}$, haves

$\phi ={\frac {\pi }{2}}-\angle B_{1}OC_{1}={\frac {\pi }{2}}-2\alpha$,

$\operatorname {tg.} \phi =\cot 2\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg.} ^{2}\alpha }{2\operatorname {tg.} \alpha }}={\frac {1-\left({\frac {1-{\frac {\epsilon }{m}}}{1+\epsilon }}\right)^{2}}{2{\frac {1-{\frac {\epsilon }{m}}}{1+\epsilon }}}}$

$={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1+\epsilon }{1-{\frac {\epsilon }{m}}}}-{\frac {1-{\frac {\epsilon }{m}}}{1+\epsilon }}\right]$,

og ved her at multiplicere den første Brøk i Tæller og Nævner med $1+{\frac {\epsilon }{m}}$, den anden med $1-\epsilon$ og bortkaste 2den Potens af den lille Størrelse $\epsilon$ findes:

$\operatorname {tg.} \phi =\epsilon \left(1+{\frac {1}{m}}\right)$.

Ovenfor have vi fundet, at Forskydningen $\tau$ i Diagonalplanen er:

$\tau =G\operatorname {tg.} \phi ={\frac {1}{2}}\sigma$,

hvorved

$\sigma =2G\epsilon \left(1+{\frac {1}{m}}\right)$,

og idet $\sigma =E\epsilon$:

${\frac {G}{E}}={\frac {m}{2(m+1)}}$.

(5).

Idet man herved kender Forholdet mellem G og E, bliver Ligning (4) til:

$f\leq {\frac {m}{m+1}}r$.

(4 a).

Sættes m = 4, haves altsaa:

$G=0,4E$, $f\leq 0,8r$

(6).

m = 3 giver G = 0,375.E, $f\leq 0,75r$, saa det spiller ikke stor Rolle, om man tillægger m den ene eller den anden Værdi. Man regner gerne m = 4. En Verifikation af disse Resultater ved Forsøg kan bedst iværksættes ved Vridning, hvorom nedenfor. Her skal blot anføres, at Forsøg af Appleby^[1], Bauschinger^[2] o. fl. med forskellige Sorter smedeligt Jærn have givet $G:E=0,36-0,49$, som Middeltal $G:E=0,43$. Det sædvanlig brugte Forhold, $G:E=0,4$ er altsaa nærmest lidt for lavt. De specielle Værdier af Konstanterne for de særlige Materialer komme vi tilbage til i et følgende Afsnit.

1. Forsøgene refererede af: Commission des méthodes d'essai des matériaux de construction. Rapport XXXII. T. III., Paris, 1895.
2. Mittheilungen aus dem mech.-techn. Laboratorium der techn. Hochschule in München. Heft 3.