Teknisk Elasticitetslære/20

Fra Wikisource, det frie bibliotek
Spring til navigation Spring til søgning

Forfatterens Forlag Kjøbenhavn


Teknisk Elasticitetslære.djvu Teknisk Elasticitetslære.djvu/7 58-62

PD-icon.svg Dette værk er ikke beskyttet af ophavsret i Danmark, da ophavsmanden døde senest 31. december 1949. Det er ikke beskyttet efter amerikansk ophavsret, da det blev udgivet før 1. januar 1925.


§ 20. Relationer mellem Konstanterne for Normalspændinger og Forskydningsspændinger. Hidtil have vi betragtet Træk og Tryk for sig, Forskydninger for sig; i Virkeligheden optræde de imidlertid altid samtidigt.

Hvis vi saaledes tage et Prisme (Fig. 47, Pl. 5), der er paavirket til Træk eller Tryk efter sin Længderetning af en Kraft , ensformig fordelt over Normalsnittet, saa vil der i alle skraa Snit optræde Forskydningsspændinger. I et Snit under Vinklen med Normalsnittet, altsaa med Areal , er Spændingen i P's Retning lig . Ved Opløsning af denne efter Snittet og dets Normal findes, at dette Snit er paavirket af en Normalspænding og en Forskydningsspænding bestemte ved:

, .

har Maximumsværdien for , Minimumsværdien 0 for . har Maximumsværdien for , Minimumsværdien 0 for eller . Sættes for , faas Forskydningen i dette Snit , stemmende med den ovenfor beviste Sætning. I det følgende skulle vi navnlig gøre Brug af det Resultat, at i et Prisme, der er paavirket til Træk eller Tryk med Spændingen , vil den største Forskydningsspænding optræde i Snit, der danne 45° med Kraftretningen, og denne Maximumsværdi er: .

Naar man dernæst undersøger et elementært Parallelopipedum ABCD (Fig. 48, Pl. 5), paavirket af Forskydningsspændingen i Fladerne BC og AD, vil man finde, at der i de forskellige Snit ogsaa optræder Træk- eller Trykspændinger. Under Forskydningens Indvirkning er Parallelopipedets Form bleven AEFD; Maalet for Forskydningen er

.

Diagonalen AC er kommen hen i Stillingen AF og er derved bleven forlænget Stykket CG, idet (den vinkelrette FG træder i Stedet for en Cirkelbue med Centrum A, idet Formforandringerne behandles som smaa Størrelser). Man har altsaa Forlængelsen pr. Længdeenhed:

.

Variationen af for de forskellige Værdier af — i forskellige Snit — er givet herved. For og haves ; største og mindste Værdi af findes for , og Værdierne ere . Forskydningen er altsaa altid ledsaget af Træk og Tryk; største Forlængelse og Forkortelse optræder i Retninger, der danne med Forskydningsretningen, og have Værdierne: .

Relationen mellem Forskydningsspændingen og de største Træk- og Trykspændinger findes ved i Ligningen at indføre:

, ,

hvorved eller .

Naar man skal bestemme Dimensioner af et Legeme, der er paavirket til Forskydning, maa man selvfølgelig sørge for, at hverken den tilladelige Forskydning () eller den tilladelige Forlængelse () overskrides. Heraf følger, at den tilladelige Værdi af Forskydningen () højst maa være dobbelt saa stor som den tilladelige Forlængelse, eller idet Spændinger og Formforandringer her ere proportionale, at

. (4).

Herved kan man udlede den tilladelige Forskydningsspænding f af den tilladelige Træk- eller Trykpaavirkning r, hvis man kender G og E. Naturligvis gælder Relationen (4) kun for fuldstændig isotrope Legemer.

G og E kunne bestemmes ved Forsøg. Imidlertid kan man ad rent theoretisk Vej udlede en Relation mellem dem, saaledes som vi nu skulle se.

Vi betragte en Tærning ABCD med Kanten 1 (Fig. 49, Pl. 5) paavirket til Træk af Spændingen (Kraften) . Herved forlænges AB til og forkortes AD til . Som vi ovenfor have set, optræder der i skraa Snit i Tærningen Forskydningsspændinger, som naa deres Maximum i Diagonalplanerne AC og BD. Disse danne oprindelig en ret Vinkel med hinanden, og et Maal for Forskydningen haves i Ændringen af denne rette Vinkel.

Idet , og , haves

,

,

og ved her at multiplicere den første Brøk i Tæller og Nævner med , den anden med og bortkaste 2den Potens af den lille Størrelse findes:

.

Ovenfor have vi fundet, at Forskydningen i Diagonalplanen er:

,

hvorved

,

og idet :

. (5).

Idet man herved kender Forholdet mellem G og E, bliver Ligning (4) til:

. (4 a).

Sættes m = 4, haves altsaa:

, (6).

m = 3 giver G = 0,375.E, , saa det spiller ikke stor Rolle, om man tillægger m den ene eller den anden Værdi. Man regner gerne m = 4. En Verifikation af disse Resultater ved Forsøg kan bedst iværksættes ved Vridning, hvorom nedenfor. Her skal blot anføres, at Forsøg af Appleby[1], Bauschinger[2] o. fl. med forskellige Sorter smedeligt Jærn have givet , som Middeltal . Det sædvanlig brugte Forhold, er altsaa nærmest lidt for lavt. De specielle Værdier af Konstanterne for de særlige Materialer komme vi tilbage til i et følgende Afsnit.

  1. Forsøgene refererede af: Commission des méthodes d'essai des matériaux de construction. Rapport XXXII. T. III., Paris, 1895.
  2. Mittheilungen aus dem mech.-techn. Laboratorium der techn. Hochschule in München. Heft 3.