Side:Teknisk Elasticitetslære.djvu/412

Ved Integration af Ligningen $M=EI{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ findes:

$y=C\sin ax+D\cos ax+{\frac {p}{2P}}x^{2}-{\frac {pl}{2P}}x-{\frac {p}{Pa^{2}}}$,

idet $a^{2}={\frac {P}{EI}}$. C og D bestemmes ved Betingelserne: x = 0 og x = l give y = 0, hvorefter man beregner største Nedbøjning f som efter nogen Reduktion bliver:

$f=-{\frac {p}{Pa^{2}}}{\frac {1-\cos {\frac {1}{2}}al}{\cos {\frac {1}{2}}al}}-{\frac {pl^{2}}{8P}}$.

Momentet paa Midten er nu (efter Rækkeudvikling af cos):

$M_{max}={\frac {1}{8}}pl^{2}{\frac {1}{1-{\frac {Pl^{2}}{8EI}}}}$.

M_max. bliver uendelig for $P={\frac {8EI}{l^{2}}}\approx P_{E}$; den Eulerske Værdi P_E er altsaa ogsaa her den farlige Grænseværdi for Kraften.

Den antydede Beregning gælder imidlertid kun for det specielle betragtede Tilfælde, at P er et Tryk, og at de bøjende Kræfter ere ensformig fordelte; naar P bliver et Træk, faar man exponentielle Funktioner i Stedet for trigonometriske i den neutrale Linies Ligning, og en anden Belastning vinkelret paa Axen bevirker naturligvis ogsaa Forandringer. Vi ville derfor udvikle en Tilnærmelsesformel, der kan bruges i alle Tilfælde.

For simpelt understøttede Bjælker, der kun ere paavirkede til Bøjning, altsaa for P = 0, har man altid en Relation mellem største Nedbøjning f og største Bøjningsspænding $\sigma _{b}$ af Formen:

$f={\frac {1}{n}}{\frac {l^{2}\sigma _{b}}{Ee}}$

(36).

For ensformig Belastning har man saaledes (sammenlign § 28):

$\sigma _{b}={\frac {{\frac {1}{8}}pl^{2}e}{I}}$, $f={\frac {5}{384}}{\frac {pl^{4}}{EI}}$, hvorved $f={\frac {5}{48}}{\frac {\sigma _{b}l^{2}}{Ee}}$;

for en Enkeltkraft i Midten findes paa samme Maade