Side:Teknisk Elasticitetslære.djvu/45

Heri og i den sidste af Ligningerne (1) indføres:

${\frac {1}{2}}(I_{x'}-I_{y'})=v'$, ${\frac {1}{2}}(I_{x}-I_{y})=v$

$Z_{x'y'}=u'$, $Z_{xy}=u$,

hvorved faas:

$u'=v\sin 2\alpha +u\cos 2\alpha$,

$v'=v\cos 2\alpha -u\sin 2\alpha$.

Disse Ligninger ere netop dem, der skulle anvendes for at iværksætte en Koordinatændring fra et retvinklet System (u, v), til et nyt retvinklet System (u', v'), der med det første danner Vinklen $2\alpha$. Hvis man altsaa i et givet retvinklet Koordinatsystem afsætter et Punkt med Koordinaterne u og v, saa kunne u' og v' findes som Koordinater til samme Punkt i et System, der faas af det første ved en Drejning gennem Vinklen $2\alpha$ i den positive Omdrejningsretning (fra u-Axen til v-Axen). — I Fig. 35, Pl. 4, er ud ad Y-Axen (idet I_x er forudsat > I_y) afsat OR = I_x, RY = I_y, og over OY som Diameter er tegnet en Cirkel, der altsaa tangerer X-Axen i O. Endvidere er afsat RT = Z_xy (i den positive X-Retning, hvis Z_xy er positiv). Man har da: ${\frac {1}{2}}(I_{x}-I_{y})=v=MR$, u = RT; u- og v-Axernes positive Retninger ere angivne i Figuren.

Naar nu Axerne XY drejes Vinklen $\alpha$ til Stillingen X'Y', vil Systemet (u, v) blive drejet Vinklen $2\alpha$ til Stillingen (u', v'), og T's Koordinater i dette nye System angive altsaa Størrelserne:

$MR'={\frac {1}{2}}(I_{x'}-I_{y'})$, $R'T=Z_{x'y'}$.

Idet I_x' + I_y' = I_x + I_y = Cirklens Diameter, haves nu:

$X'R'=I_{x'}$, $R'Y'=I_{y'}$, $R'T=Z_{x'y'}$.

Naar man har tegnet Cirklen og afsat Punktet T som ovenfor beskrevet, findes altsaa Z_x'y' for et Par nye retvinklede Axer OX' og OY' som T's Afstand fra Diameteren X'Y', og Fodpunktet R' deler Diameteren X'Y' i Stykkerne R'X' = I_y' (nærmest ved X') og R'Y' = I_y' (nærmest ved Y'). —

Ved denne Konstruktion danner man sig let et Billede af, hvorledes Inertimomenter og Centrifugalmomenter variere, naar Axerne dreje sig. Centrifugalmomentet bliver aabenbart Nul, naar Diameteren X'Y' gaar gennem T, altsaa falder sammen med MT. De tilsvarende Axeretninger ere O1 og O2, Hovedaxerne. Inertimomenterne om disse Axer, Hovedinerti-