Teknisk Elasticitetslære/66

by Asger Ostenfeld

§ 66. Søjler og Trækstænger, paavirkede til Bøjning af Kræfter vinkelret paa Længderetningen. Hvis man foruden et centralt Tryk eller Træk ogsaa har bøjende Kræfter vinkelret paa Længderetningen, kan man gaa frem ganske som i forrige Paragraf. For at antyde Methoden tage vi en Søjle med et centralt Tryk P og en ensformig fordelt Belastning p pr. Længdeenhed, vinkelret paa Axen; Søjlen er simpelt understøttet i begge Ender. I et vilkaarligt Punkt i Afstanden x fra den ene Ende er Nedbøjningen y, og Momentet her bliver:

$M={\frac {1}{2}}px^{2}-{\frac {1}{2}}plx-Py$.

Ved Integration af Ligningen $M=EI{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ findes:

$y=C\sin ax+D\cos ax+{\frac {p}{2P}}x^{2}-{\frac {pl}{2P}}x-{\frac {p}{Pa^{2}}}$,

idet $a^{2}={\frac {P}{EI}}$. C og D bestemmes ved Betingelserne: x = 0 og x = l give y = 0, hvorefter man beregner største Nedbøjning f som efter nogen Reduktion bliver:

$f=-{\frac {p}{Pa^{2}}}{\frac {1-\cos {\frac {1}{2}}al}{\cos {\frac {1}{2}}al}}-{\frac {pl^{2}}{8P}}$.

Momentet paa Midten er nu (efter Rækkeudvikling af cos):

$M_{max}={\frac {1}{8}}pl^{2}{\frac {1}{1-{\frac {Pl^{2}}{8EI}}}}$.

M_max. bliver uendelig for $P={\frac {8EI}{l^{2}}}\approx P_{E}$; den Eulerske Værdi P_E er altsaa ogsaa her den farlige Grænseværdi for Kraften.

Den antydede Beregning gælder imidlertid kun for det specielle betragtede Tilfælde, at P er et Tryk, og at de bøjende Kræfter ere ensformig fordelte; naar P bliver et Træk, faar man exponentielle Funktioner i Stedet for trigonometriske i den neutrale Linies Ligning, og en anden Belastning vinkelret paa Axen bevirker naturligvis ogsaa Forandringer. Vi ville derfor udvikle en Tilnærmelsesformel, der kan bruges i alle Tilfælde.

For simpelt understøttede Bjælker, der kun ere paavirkede til Bøjning, altsaa for P = 0, har man altid en Relation mellem største Nedbøjning f og største Bøjningsspænding $\sigma _{b}$ af Formen:

$f={\frac {1}{n}}{\frac {l^{2}\sigma _{b}}{Ee}}$

(36).

For ensformig Belastning har man saaledes (sammenlign § 28):

$\sigma _{b}={\frac {{\frac {1}{8}}pl^{2}e}{I}}$, $f={\frac {5}{384}}{\frac {pl^{4}}{EI}}$, hvorved $f={\frac {5}{48}}{\frac {\sigma _{b}l^{2}}{Ee}}$;

for en Enkeltkraft i Midten findes paa samme Maade ${\frac {1}{n}}={\frac {4}{48}}$; for en Belastning bestaaende af to lige store Momenter ved Understøtningspunkterne findes ${\frac {1}{n}}={\frac {6}{48}}$. For de to sidstnævnte Bjælker ere Momentkurverne en Trekant og et Rektangel; de betegne derfor Grænsetilfælde, hvorimellem de andre mulige Belastninger maa gruppere sig. Konstanten n i (36) kan derfor antages altid at ligge mellem 8 og 12, naar Paavirkningen er en ren Bøjning.

Vi ville nu anvende den samme Relation mellem f og $\sigma _{b}$ i det Tilfælde, hvor der foruden den rene Bøjning optræder en Kraft P paalangs. f og $\sigma _{b}$ betegne da største Nedbøjning og største Bøjningsspænding, der frembringes af Kraften P og Kræfterne vinkelret paa Længderetningen tilsammen; den totale største Spænding er

${\frac {P}{F}}\pm \sigma _{b}=\sigma \pm \sigma _{b}$.

Det resulterende største Moment kan skrives:

$M_{max.}=M_{0}-P.f$,

hvor M₀ betegner det største Moment, der frembringes af Kræfterne vinkelret paa Længderetningen alene, P.f den Del af Momentet, der hidrører fra P. Kraften P er herved regnet med Fortegn, positiv for Træk, negativ for Tryk; hvis P er positiv, vil den modvirke Bøjningen, hvorfor P.f og M₀ i saa Fald have modsat Tegn. Naar M_max. sættes lig M₀ - P.f, er der forudsat, at største Nedbøjning f optræder i det Punkt, hvor Momentet fra Kræfterne vinkelret paa Stangen er størst; dette er i Almindelighed kun Tilfældet, hvis Belastningen er symmetrisk fordelt om Stangens Midtpunkt, men Fejlen er aldrig betydelig. Vi have nu, idet Momentet M_max. frembringer Spændingen $\sigma _{b}$:

$M_{max.}=M_{0}-P.f=M_{0}-{\frac {1}{n}}P{\frac {l^{2}\sigma _{b}}{Ee}}={\frac {\sigma _{b}}{e}}.I$.

hvoraf findes:

$\sigma _{b}={\frac {M_{0}e}{I+{\frac {Pl^{2}}{nE}}}}$.

(37).

Denne Formel har ganske samme Udseende som for simpel Bøjning; Inertimomentet er blot forøget med Størrelsen ${\frac {Pl^{2}}{nE}}$.

Ovenfor have vi set, at n sandsynligvis ligger mellem 8 og 12; i det specielle Tilfælde, der betragtedes i Begyndelsen af denne Paragraf, vilde n være lig 8, hvis Rækkeudviklingen for cos var nøjagtig, i Virkeligheden bliver n lidt større. (37) indbefatter Formlerne for excentrisk Tryk i forrige Paragraf som specielt Tilfælde; sættes i (37):

${\frac {M_{0}.e}{I}}={\frac {P.f_{0}.e}{F.i^{2}}}=\sigma {\frac {f_{0}}{k}}$,

faas netop sidste Led i (33). n er den samme Størrelse, som i forrige Paragraf kaldtes $\mu .\pi ^{2}$, og da vi af Forsøgene med excentrisk Tryk have udledet Værdien $\mu .\pi ^{2}=8,4$, ville vi ogsaa her sætte n = 8,4.

Ligning (37) kan umiddelbart anvendes, naar P er et (centralt) Træk. I saa Fald skal man simpelthen sørge for. at den resulterende største Trækspænding ikke overskrider den tilladelige Værdi r, og man har altsaa til Dimensionsbestemmelsen:

$r={\frac {P}{F}}+{\frac {M_{0}.e}{I+{\frac {Pl^{2}}{8,4\cdot E}}}}$.

(38).

Naar det er en nogenlunde stiv Bjælke, der er Tale om, kan man naturligvis godt nøjes med den sædvanlige Formel (§ 59):

$r={\frac {P}{F}}+{\frac {M_{0}.e}{I}}$,

og man vil altid herved være paa den sikre Side; men der gives adskillige Tilfælde, hvor man nødvendigvis maa regne med (38), saaledes ved lange, spinkle Trækstænger, der paavirkes til Bøjning af deres Egenvægt, Vindtryk o. l. —. Formlen kan ogsaa bruges, naar Momentet M₀ hidrører fra et excentrisk Træk, M₀ = P.f₀, og for dette Tilfælde er den ved direkte Forsøg funden at stemme meget godt med Virkeligheden, baade ved Maaling af Nedbøjninger (Préaudeau)^[1] og af Spændinger (Guillot og Rabut)^[2].

Exempel 1. En 6m. lang Trækstang af 1cm. tykt fladt Jærn skal optage en Spænding paa 700 kg./cm.², virkende centralt; samtidig kan Stangen blive paavirket til Bøjning af et Vindtryk paa 150 kg./m.²; bestem den derved bevirkede Tilvæxt til Spændingen.

Stangens Bredde er ligegyldig; vi regne den lig 1cm.. Vindtrykket er da 1,5 kg. pr. m., $M_{0},={\frac {1}{8}}\cdot 1,5\cdot 6^{2}\cdot 100=675\operatorname {kg.cm.}$, e = 0,5cm., $I={\frac {1}{12}}\operatorname {cm.} ^{4}$, ${\frac {Pl^{2}}{8,4\cdot E}}={\frac {700\cdot 360000}{8,4\cdot 2000000}}=15\operatorname {cm.} ^{4}$.

Altsaa er Spændingstilvæxten ifølge (37 b):

${\frac {675\cdot 0,5}{{\frac {1}{12}}+15}}$ = ca. 22 kg./cm.²,

medens man uden Hensyn til Nedbøjningen vilde finde Tilvæxten ${\frac {M_{0}e}{I}}=675\cdot 0,5\cdot 12=4050\operatorname {kg./cm.} ^{2}$; herved vilde dog i alle Tilfælde Proportionalitetsgrænsen være overskredet, saa Formlen kunde ikke bruges.

En lignende Virkning som Vindtrykket i dette Exempel vil Egenvægten udøve paa vandret liggende Trækstænger af fladt Jærn (for 1cm. Tykkelse, 1cm. Bredde, er Egenvægten ca. 0,8 kg. pr. m.).

Exempel 2. En Trækstang er dannet af ét Vinkeljærn, 80 . 80 . 10mm., hvortil Kraften overføres ved 2cm. Nitter midt i den ene Flig. Stangens Længde er 2m., Kraftens Størrelse er 9100 kg. (svarende til 700 kg./cm.² af det nyttige Tværsnit, hvis Spændingen fordelte sig ensformigt derover). Der spørges om største Fiberpaavirkning.

Kraftens Angrebspunkt antages at ligge 45mm. fra Profilets Vinkelspids og midt i Flangetykkelsen, Kraftlinien danner da en Vinkel paa ca. 4° med den ene Hovedaxe, og man skulde egentlig opløse Momentet P.f₀ efter Hovedaxerne, foretage to Beregninger og addere Resultaterne. Den ene, af Komposanterne bliver dog her saa lille, at vi ville se bort fra den, hvortil der ogsaa er god Grund, da Kraftangrebspunktet jo ikke er ganske bestemt. Excentriciteten bliver da: f₀ = 2,83cm., M₀ = P.f₀ = 9100 . 2,83 = 25753 kg.cm., e = 5,65cm., I = 141cm.⁴, ${\frac {Pl^{2}}{8,4E}}=21,67\operatorname {cm.} ^{4}$; Spændingen bliver:

$700+{\frac {25753\cdot 5,65}{141+21,67}}=1595\operatorname {kg./cm.} ^{2}$.

Denne store Spændingstilvæxt (895 kg.) vilde omtrent ganske undgaas, hvis man ved et Stykke Vinkeljærn befæstede Stangen ogsaa midt i den anden Flig; Excentriciteten vilde da være forsvindende.

Naar P er et Tryk, kan (37) ikke anvendes slet saa direkte. Den resulterende Paavirkning er, idet vi nu hellere regne P positiv for Tryk:

$\sigma +\sigma _{b}={\frac {P}{F}}\pm {\frac {M_{0}e}{I-{\frac {Pl^{2}}{8,4E}}}}$

(39).

hvis man her blot bestemmer Dimensionerne saaledes, at $\sigma +\sigma _{b}$ ikke overskrider den tilladelige Trykpaavirkning, udsætter man sig for den samme Fare som ved excentrisk Tryk, at P kun ligger lidt lavere end Grænseværdien P_E, og kan derfor ogsaa her komme til det umulige Resultat, at der ikke behøves saa store Dimensioner for at modstaa den forenede Virkning af P og M₀, som man ved de sædvanlige Søjleformler finder ved at regne med det centrale Tryk P alene. Da vi nu imidlertid ere komne over Vanskeligheden i det specielle Tilfælde, hvor M₀ hidrører fra et excentrisk Tryk, kunne vi her slippe let derover ved blot at beregne f₀ (en tænkt Excentricitet) af: M₀ = P.f₀ og saa simpelthen bruge Methoden i forrige §; (39) og (33) blive, som vi saa ovenfor, identiske, naar der sættes: M₀ = P.f₀. Vi kunne altsaa ogsaa her benytte (35) til Dimensionsbestemmelsen, men maa tillige erindre at undersøge, om Trækpaavirkningen ikke bliver for stor, hvis Materialet f. Ex. er Støbejærn.

Opg. 39. Find Spændingstilvæxten fra Bøjningen for en Trækstang, der er dannet af et $\sqsubset$-Jærn, N. Pr. Nr. 12, hvortil Kraften overføres ved Nitter gennem Kroppen, symmetrisk fordelte om Midtlinien; Trækket i Stangen er 11ts..

Opg. 40. En Træstolpe med kvadratisk Tværsnit, plane Endeflader og 8,2m. Længde skal optage et centralt Tryk paa 15,5ts.; bestem Dimensionerne, naar der tages Hensyn til et Vindtryk paa 150 kg./m.², og sammenlign Resultatet med det, man vilde finde uden Hensyn til Vindtrykket.

Opg. 41. En Pakhus-Søjle af Støbejærn (hul, cirkulær) med plane Endeflader og 4,5m. Højde skal bære et Tryk paa 32ts., virkende med en Excentricitet af 8cm. Tillige kan Søjlen paa de nederste 2m. blive udsat for et vandret Sidetryk paa 500 kg. pr. m. Bestem Dimensionerne.

1. Ann. d. ponts et chaussées, 1894, I, S. 498.
2. Génie civil, 1894—95, I, S. 43, og Bemærkninger til Forsøgene af Keelhof og Mesnager (ib. S. 220 og 253).