Teknisk Elasticitetslære/8

by Asger Ostenfeld

§ 8. Tovpolygoner som Ligevægtsformer for materielle Tov- eller Stangsystemer. De Systemer, hvorpaa der her tænkes, bestaa af Stænger (eller Tove), der to og to ere forbundne ved friktionsløse Led, Knudepunkterne, og i disse Punkter paavirkede af ydre Kræfter (se Fig. 19, Pl. 3). Til Ligevægt af et saadant System kræves først og fremmest, at alle de ydre Kræfter for sig, hertil medregnet Reaktioner fra faste Understøtnings- eller Ophængningspunkter, vilde holde hinanden i Ligevægt, hvis man tænkte sig dem virkende paa et og samme faste Legeme. Men at disse Kræfter overhovedet kunne komme til at indvirke paa hverandre og altsaa maaske holde hverandre i Ligevægt, muliggøres kun derved, at Systemets Stænger eller Tove overføre Virkningen fra det ene Knudepunkt til det andet; der maa med andre Ord i Systemets Led frembringes visse Spændinger. Man skelner mellem Træk- og Trykspændinger, eftersom de stræbe at forlænge eller forkorte Leddene; Trækspændinger ville i Almindelighed idet følgende blive regnede positive, Trykspændinger negative.

For at der kan blive frembragt en Spænding i en Stang, maa der virke to lige store, modsat rettede Kræfter paa den. Naar man skal afgøre, om en Spænding er Træk eller Tryk, maa man lægge Mærke til, om disse Kræfter betragtes som virkende paa Stangen eller paa de Knudepunkter, der forbindes af Stangen. I første Tilfælde faas Træk, naar Kræfterne virke bort fra hinanden, i sidste Tilfælde naar Kræfterne virke bort fra Knudepunktet.

Foruden den ovennævnte Ligevægtsbetingelse, der maa være opfyldt af alle de ydre Kræfter, maa der til Ligevægt af Systemet endnu kræves, at der ikke er nogen Tilbøjelighed til Bevægelse i noget enkelt af Knudepunkterne. Hvis altsaa et Knudepunkt tænkes skaaret løst fra det øvrige System, maa Spændingerne i de to overskaarne Stænger holde Ligevægt mod den ydre Kraft i Knudepunktet; der maa kunne tegnes en lukket Kraftpolygon (Trekant) for hvert Knudepunkt.

Det kan nu vises, at Ligevægtsformen for et saadant System er en Tovpolygon til de ydre Kræfter.

Systemet i Fig. 19, Pl. 3, antages at have indstillet sig i sin Ligevægtsform ABCD...; A er et fast Ophængningspunkt (et friktionsløst Led), der giver en Reaktion efter Stangen AB's Retning og i Størrelse lig Spændingen i AB. Krafttrekanten for Knudepunktet B er Oab, hvorved Spændingerne Oa og bO i Stængerne AB og BC ere bestemte. Da disse to og Kraften 1 holde hinanden i Ligevægt, er Omløbsretningen i Krafttrekanten uafbrudt; Spændingen i AB virker altsaa bort fra Knudepunktet, er en Trækspænding; ligesaa i BC. Dernæst tegnes Krafttrekanten for Knudepunkt C; man kender i Forvejen Spændingen i BC og Kraften 2, og naar Spændingen i CD skal holde Ligevægt mod disse to, maa den være lig Siden cO i Trekanten Obc; det skal altsaa passe af sig selv, hvis ABCD... er Ligevægtsformen, at CD ≠ cO. Paa samme Maade findes DE ≠ d0, o. s. v. Men Samlingen af Krafttrekanter, som man efterhaanden faar tegnet, svarer aabenbart som Kraftpolygon med Polen O til ABCD... som Tovpolygon, hvorved Sætningen er bevist.

At omvendt enhver Tovpolygon er en Ligevægtsform, følger af Tovpolygonens Konstruktion.

Det her viste gælder naturligvis ogsaa, naar Knudepunkternes Antal voxer i det uendelige, medens samtidigt Leddenes Længde og Kræfternes Størrelse bliver uendelig lille. Ligevægtsformen bliver da til en kontinuerlig Kurve, Systemet kaldes en Bue eller Kæde. Ligevægtsformen er i saa Fald en Tovkurve til de virkende Kræfter med de i § 7 viste Egenskaber.

Ex. 1. De ydre Kræfter halvere Vinklerne mellem Systemets Led.

Spændingen i en vilkaarlig af Systemets Stænger AB findes ved at opløse Kraften 1 efter de i A sammenstødende Led (Fig. 20, Pl. 3); Krafttrekanten bliver ligebenet, Spændingerne i de to Led altsaa ligestore. Dette gælder to hvilke som helst paa hinanden følgende Led, altsaa blive alle Spændingerne lige store. Kraftpolygonen er følgelig indskrivelig i en Cirkel med Centrum i Polen. Vinklen mellem de yderste Polstraaler halveres af en Linie parallel med Korden, der angiver Resultanten af alle Kræfterne; Kræfternes Resultant halverer altsaa Vinklen mellem de yderste Systemdele.

Ere alle Kræfterne ligestore, ville alle Vinklerne mellem to paa hinanden følgende Straaler i Kraftpolygonen, altsaa ogsaa mellem to konsekutive Sider i Systemet, være lige store: og ere endelig alle Systemdelene lige store, vil Systemet kunne indskrives i en Cirkel.

Dette sidste Tilfælde faas, naar man har en Kæde, der i sin Ligevægtsstilling er paavirket af ensformig fordelte Kræfter, virkende normalt paa Kæden (Fig. 21, Pl. 3); Normalerne her svare til Halveringslinierne ovenfor. Baade Kraftpolygon og Ligevægtsform blive da Cirkelbuer.

Er Belastningen pr. Længdeenhed af Kæden lig p, Kædens Radius r og Centervinkel $\alpha$, haves Resultanten af alle Kræfterne (efter Halveringslinien): $P=2T\sin {\frac {1}{2}}\alpha$, idet T er den konstante Spænding. Betragtes et uendeligt lille Bueelement $r.d\varphi$ af Kæden, er den derpaa virkende Kraft: $pr.d\varphi$, og ifølge Kraftpolygonen haves $pr.d\varphi =T.d\varphi$. Altsaa er:

$T=p.r$, $P=2pr\sin {\frac {1}{2}}\alpha =p.AB$.

Ligevægten forstyrres selvfølgelig ikke, naar den først er indtraadt, ved at man forvandler Kæden til et fast System; de fundne Formler maa derfor ogsaa gælde f. Ex. for en stiv Bue, der er formet efter en Cirkel og paavirket som ovenfor forudsat. — I Praxis faar det betragtede Tilfælde Betydning ved store Sluseporte, som man undertiden former efter en Cirkelbue for at undgaa Bøjning, (Belastningen hidrører her fra Vandets Tryk, som jo er ensformig fordelt og virker normalt paa Portens Overflade); ligeledes ved Indfatninger for Betonfundamenter til Bropiller (Jærnbanebroerne over Slotsholmskanalen).

Ex. 2. De paa Systemet virkende ydre Kræfter ere parallele. (Fig. 22, Pl. 3). Kraftpolygonen reduceres til en ret Linie; Spændingerne i Systemets Dele maales ved Straalerne fra Polen O; herved faas strax, at Spændingens Projektion paa en vinkelret paa Kraftretningen er konstant (lig Poldistancen).

Naar alle Kræfterne ere lige store og alle Systemets Led have samme Projektion paa en vinkelret paa Kraftretningen, vil Ligevægtsformen være indskrivelig i en 2den Grads Parabel, hvis Axe er parallel med Kræfterne (Fig. 22, Pl. 3).

Forlænges nemlig alle Systemets Led til Skæring med den følgende Kraftlinie, faas ifølge Kraftpolygonen, at Stykkerne k blive lige store. Lægges der nu en Parabel med lodret Axe gennem Punkterne A, B og C (derved er Parablen bestemt), vil der mellem Korderne AB og BC paa Verticalen gennem C afskæres et Stykke

$k=y_{2}-y_{0}-2(y_{1}-y_{0})=y_{2}-2y_{1}+y_{0}$,

idet Koordinaterne til Punkterne A, B og C ere:

$(x_{0},y_{0})$, $(x_{0}+a,y_{1})$ og $(x_{0}+2a,y_{2})$.

Ved Benyttelse af Parablens Ligning x² = m.y faas:

$k={\frac {1}{m}}\left[(x_{0}+2a)^{2}-2(x_{0}+a)^{2}+{x_{0}}^{2}\right]={\frac {2a^{2}}{m}}$.

k er altsaa uafhængig af x₀, og Parablen vil derfor gaa gennem alle Systemets Knudepunkter. Den omskrevne Parabels Parameter m kan bestemmes paa følgende Maade. Af Figuren findes:

${\frac {k}{P}}={\frac {a}{h}}$, altsaa $k=P.{\frac {a}{h}}$;

for Parablen fandtes:

$k={\frac {2a^{2}}{m}}$,

hvorved

$m={\frac {2ah}{P}}$.

Den beviste Egenskab vedbliver at gælde, naar Systemet gaar over til at blive en Kæde. Naar en saadan er belastet med Kræfter, der ere ensformig fordelte over Horizontalprojektionen, bliver Hvileformen en Parabel, som allerede vist i § 7. Af Udviklingen her findes, naar man sætter ${\frac {P}{a}}=p$ (Belastningen pr. Længdeenhed), Parablens Ligning at være:

$y={\frac {p.x^{2}}{2h}}$,

stemmende med Resultatet i § 7.

Kædespændingens vandrette Komposant er konstant, lig Poldistancen h. Den kan bestemmes, naar man kender den indbyrdes Beliggenhed af 3 Punkter af Kæden. Hvis Kæden f. Ex. er ophængt i to Punkter i samme Højde H over det laveste Punkt (Begyndelsespunktet for Koordinatsystemet) og med Abscisserne $\pm {\frac {1}{2}}l$, haves Spændingens vandrette Komposant

$h={\frac {pl^{2}}{8H}}$

Spændingen T et vilkaarligt Punkt er lig Længden af den Straale i Kraftpolygonen, der er parallel med Punktets Tangent, altsaa

$T={\sqrt {h^{2}+p^{2}x^{2}}}={\frac {pl^{2}}{8H}}{\sqrt {l^{2}+16H}}y.$.

Parablen som Ligevægtsform for en Kæde finder Anvendelse ved Hængebroer.