Side:Teknisk Elasticitetslære.djvu/40

Inertimomentet om Y-Axen, $I_{y}=\int x^{2}dF$,

Centrifugalmomentet om X- og Y-Axerne, $Z_{xy}=\int xydF$.

Der søges I_x', I_y' og Z_x'y', for et Par nye, paa hinanden vinkelrette Axer X' og Y', der med de oprindelige danne Vinklen $\alpha$; Begyndelsespunktet er det samme.

Naar Koordinatsystemet drejes en Vinkel $\alpha$, haves:

$x'=y\sin \alpha +x\cos \alpha$,

$y'=y\cos \alpha -x\sin \alpha$.

Ved Indsættelse heraf i Udtrykkene for I_x', I_y' og Z_x'y' faas:

$I_{x'}=\int y'^{2}dF=\cos ^{2}\alpha \int y^{2}dF+\sin ^{2}\alpha \int x^{2}dF-\sin 2\alpha \int xydF$,

og analoge Udtryk for I_y' og Z_x'y'; altsaa:

$\left.{\begin{array}{lcl}I_{x'}=I_{x}\cos ^{2}\alpha +I_{y}\sin ^{2}\alpha -Z_{xy}\sin 2\alpha ,\\I_{y'}=I_{x}\sin ^{2}\alpha +I_{y}\cos ^{2}\alpha +Z_{xy}\sin 2\alpha ,\\Z_{x'y'}={\frac {1}{2}}(I_{x}-I_{y})\sin 2\alpha +Z_{xy}\cos 2\alpha .\end{array}}\right\}$

(1).

Ved Addition af de to første Ligninger findes:

$I_{x'}+I_{y'}=I_{x}+I_{y}$,

saa at Summmen af Inertimomenterne med Hensyn til to paa hinanden vinkelrette Axer gennem samme Punkt er konstant. Idet Arealelementet dF har en Afstand $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ fra Begyndelsespunktet, haves:

$I_{x}+I_{y}=\int (x^{2}+y^{2})dF=\int r^{2}dF=I_{r}$,

hvilken Størrelse ofte benævnes Figurens polære Inertimoment.

Sættes i den første af Ligningerne (1) $\alpha$ = 45°, faas:

$Z_{xy}={\frac {1}{2}}(I_{x}+I_{y})-I_{z}$,

hvor I_z betegner Inertimomentet om den Axe, der halverer Vinklen mellem X- og Y-Axernes positive Retninger. Ved Hjælp heraf kan Z_xy bestemmes alene ved de i § 11 meddelte Inertimoment-Konstruktioner.

Inertiellipsen. Afsætter man ud ad hver Linie gennem Begyndelsespunktet et Stykke, der er omvendt proportionalt med Inertimomentet om denne Linie, ville alle Endepunkterne