Side:Teknisk Elasticitetslære.djvu/41

ligge paa en Ellipse. Ud ad Linien X', der med X-Axen danner Vinklen $\alpha$, afsættes Længden ${\frac {C}{\sqrt {I_{x'}}}}$; Koordinaterne til Endepunktet ere da:

$x={\frac {C\cos \alpha }{\sqrt {I_{x'}}}}$, $y={\frac {C\sin \alpha }{\sqrt {I_{x'}}}}$,

og ved Elimination af $\alpha$ mellem disse to og den første af Ligningerne (1) faas:

$I_{x}.x^{2}+I_{y}.y^{2}-2Z_{xy}.xy=C^{2}$,

som er Ligningen for en Ellipse. Dennes Axer kaldes Hovedaxerne; tages de til Koordinataxer, bliver Ligningen:

$I_{1}x^{2}+I_{2}y^{2}=C^{2}$,

hvor I₁ og I₂ betegne Hovedaxernes Inertimomenter (Hovedinertimomenterne).

Centrifugalmomentet med Hensyn til Hovedaxerne er Nul; Hovedinertimomenterne ere Maximum og Minimum af Inertimomenterne om Axer gennem Punktet.

Ved Ligningen ovenfor er der givet et helt System af ligedannede Ellipser; vi ville i det følgende stadig benytte den, for hvilken $C^{2}=F.{i_{1}}^{2}.{i_{2}}^{2}$, idet i₁ og i₂ betegne Inertiradierne om Hovedaxerne; denne specielle Ellipse har Ligningen:

${\frac {x^{2}}{{i_{2}}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{{i_{1}}^{2}}}=1$.

Man lægger Mærke til, at i₂ er Inertiradius om Y-Axen, i₁ om X-Axen.

Ved Hjælp af Inertiellipsen kan man finde Inertimomenter og Centrifugalmoment om vilkaarlige nye Axer. I Fig. 32, Pl. 4, forudsættes Ellipsen bekendt; man skal finde I_x', I_y' og Z_x'y'.

Der trækkes en Tangent CD parallel med Y'-Axen; dens Røringspunkt er D, dens Afstand fra Centrum OC. Idet $I_{y'}=F.{i_{y'}}^{2}$, og idet vi analogt hermed sætte $Z_{x'y'}=F.i_{y'}.z{x'y'}$ (herved er z_x'y' defineret), haves da:

$OC=i_{y'}$, $CD=z_{x'y'}$.

(2).

Afstanden fra Centrum til en Tangent, hvis Normal danner Vinklen $\alpha$ med X-Axen, er:

$OC={\sqrt {{i_{2}}^{2}\cos ^{2}\alpha +{i_{1}}^{2}\sin ^{2}\alpha }}$.