Side:Teknisk Elasticitetslære.djvu/73

Minimumsværdien 0 for $\vartheta =0$ eller $\vartheta ={\frac {\pi }{2}}$. Sættes ${\frac {\pi }{2}}-\vartheta$ for $\vartheta$, faas Forskydningen i dette Snit $\tau ''=\tau '$, stemmende med den ovenfor beviste Sætning. I det følgende skulle vi navnlig gøre Brug af det Resultat, at i et Prisme, der er paavirket til Træk eller Tryk med Spændingen $\sigma$, vil den største Forskydningsspænding optræde i Snit, der danne 45° med Kraftretningen, og denne Maximumsværdi er: $\tau ={\frac {1}{2}}\sigma$.

Naar man dernæst undersøger et elementært Parallelopipedum ABCD (Fig. 48, Pl. 5), paavirket af Forskydningsspændingen $\tau$ i Fladerne BC og AD, vil man finde, at der i de forskellige Snit ogsaa optræder Træk- eller Trykspændinger. Under Forskydningens Indvirkning er Parallelopipedets Form bleven AEFD; Maalet for Forskydningen er

$\operatorname {tg} \phi ={\frac {CF}{CD}}$.

Diagonalen AC er kommen hen i Stillingen AF og er derved bleven forlænget Stykket CG, idet $FG\perp AC$ (den vinkelrette FG træder i Stedet for en Cirkelbue med Centrum A, idet Formforandringerne behandles som smaa Størrelser). Man har altsaa Forlængelsen pr. Længdeenhed:

$\epsilon ={\frac {CG}{AC}}={\frac {CF\cos \vartheta }{CD\operatorname {cosec} \vartheta }}={\frac {1}{2}}\operatorname {tg.} \phi \sin 2\vartheta$.

Variationen af $\epsilon$ for de forskellige Værdier af $\vartheta$ — i forskellige Snit — er givet herved. For $\vartheta =0$ og $\vartheta ={\frac {\pi }{2}}$ haves $\epsilon =0$; største og mindste Værdi af $\epsilon$ findes for $\vartheta =\pm {\frac {\pi }{4}}$, og Værdierne ere $\pm {\frac {1}{2}}\operatorname {tg.} \phi$. Forskydningen er altsaa altid ledsaget af Træk og Tryk; største Forlængelse og Forkortelse optræder i Retninger, der danne $\pm 45^{\circ }$ med Forskydningsretningen, og have Værdierne: $\pm {\frac {1}{2}}\operatorname {tg.} \phi$.

Relationen mellem Forskydningsspændingen $\tau$ og de største Træk- og Trykspændinger $\sigma _{max.}$ findes ved i Ligningen $\epsilon _{max.}=\pm {\frac {1}{2}}\operatorname {tg.} \phi$ at indføre:

$\sigma _{max.}=E\epsilon _{max.}$, $\tau =G\operatorname {tg.} \phi$,

hvorved ${\frac {\sigma _{max.}}{E}}=\pm {\frac {1}{2}}{\frac {\tau }{G}}$ eller $\tau =\pm 2{\frac {G}{E}}\sigma _{max.}$.