Side:Teknisk Elasticitetslære.djvu/77

Idet Punktet A befinder sig i Afstanden $\rho$ fra Axen, haves:

$\operatorname {tg.} \phi ={\frac {\rho \vartheta dz}{dz}}=\rho \vartheta$.

Det erindres, at Vinklen $\phi$ skal være Ændringen af den rette Vinkel mellem et Snit og dets Normal, altsaa her Komplement til den Vinkel, som Prismets Kanter danne med dets Endeflade, og deraf følger, at ovenstaaende Udtryk for $\operatorname {tg.} \phi$ kun er rigtigt, hvis Normalsnittet har holdt sig plant og vinkelret paa Axen.

Spændingerne i et Normalsnit maa aabenbart holde Ligevægt mod det ved den ene Ende af Cylinderen virkende ydre Kraftpar med Moment M_v, det vridende Moment. Forskydningsspændingen paa Arealelementet dF ved A (Fig. 50) er:

$\tau =G\operatorname {tg.} \phi =G\rho \vartheta$.

Kraften $\tau dF$ paa Arealelementet dF virker vinkelret paa Radius; ved at tage Momenterne med Hensyn til Axen faas:

$M_{v}=\int G\rho \vartheta dF.\rho =G\vartheta \int \rho ^{2}dF=G\vartheta I_{p}$,

hvor I_p betegner Tværsnittets polære Inertimoment. Denne Ligning vilde gælde ganske uafhængig af Tværsnitsformen, hvis de Forudsætninger, under hvilke den er udviklet, vare korrekte i Almindelighed; dette er dog kun Tilfældet for cirkulært Tværsnit, som vi skulle se nedenfor.

For den cirkulære Cylinder haves: $I_{p}={\frac {1}{2}}\pi r^{4}$, idet r betegner Radius til Omkredsen, hvorved:

$\vartheta ={\frac {2M_{v}}{\pi Gr^{4}}}$ og $\theta ={\frac {2lM_{v}}{\pi Gr^{4}}}$,

(7).

idet $\theta$ betegner Vridningsvinklen for Længden l. Ligning (7) er Relationen mellem de ydre Kræfter og Formforandringen $\vartheta$ eller $\theta$; hvis man afsætter M_v som Ordinat, $\vartheta$ som Abscisse, faas en ret Linie gennem Begyndelsespunktet, ganske analogt med Forholdene ved Træk og Tryk.

Den største Forskydning optræder aabenbart ude ved Omkredsen, og Dimensionerne skulle bestemmes saaledes, at denne største Formforandring $\vartheta$ ikke overskrider det tilladelige, $\vartheta _{1}$. Naar vi her, som sædvanligt, hvor Kræfter og Formforandringer