Side:Teknisk Elasticitetslære.djvu/83

plant. Den Flade $z=f(x,y)$, hvorefter Normalsnittet krummer sig, skal i saa Fald have Ligningen: z = C, hvorved aabenbart Differentialligningen (c) er tilfredsstillet. Ligning (d) bliver da ved Hjælp af (a) og (b) til:

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}$,

som er Differentialligningen for Normalsnittets Omkreds. Dens Integration giver:

$x^{2}+y^{2}=C$.

Udviklingen i § 21 for en cirkulær Cylinder er altsaa korrekt.

Vi ville dernæst undersøge Vridningen af en elliptisk Cylinder. Normalsnittet har Ligningen:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$,

hvorved Ligning (d) bliver:

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {b^{2}x}{a^{2}y}}={\frac {\tau _{y}}{\tau _{x}}}$.

Dette Forhold mellem Spændingerne gælder foreløbigt kun ude ved 0mkredsen, men vi ville prøve, om det ikke kan gælde for alle Tværsnittets Punkter.

Hvis vi sætte:

$\tau _{x}=Ay$, $\tau _{y}=Bx$,

faas af Ligningerne (a) og (b):

${\frac {\delta z}{\delta x}}={\frac {A}{G}}y+\vartheta y$, ${\frac {\delta z}{\delta y}}={\frac {B}{G}}x-\vartheta x$,

og ved Differentiation heraf ses, at Ligning (c) er tilfredsstillet; den antagne Spændingsfordeling er altsaa rigtig. Ved Integration af de to Ligninger faas:

$z=\left({\frac {A}{G}}+\vartheta \right)yx+\phi (y)$, og $z=\left({\frac {B}{G}}-\vartheta \right)xy+\psi (x)$,

Og da disse to skulle være identiske, maa: