Side:Teknisk Elasticitetslære.djvu/84

${\frac {A}{G}}+\vartheta ={\frac {B}{G}}-\vartheta =K$ og $\phi (y)=\psi (x)=C$,

hvorved

$z=Kxy+C$.

Normalsnittet krummer sig altsaa efter en hyperbolsk Paraboloide.

Da

${\frac {A}{G}}+\vartheta ={\frac {B}{G}}-\vartheta$,

og da

${\frac {\tau _{x}}{\tau _{y}}}=-{\frac {a^{2}y}{b^{2}z}}={\frac {Ay}{Bx}}$, altsaa ${\frac {A}{B}}=-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}.$

faar man:

$A=-{\frac {2a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\vartheta G$, $B={\frac {2b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\vartheta G$.

Nu har man, at det ydre vridende Moment skal være lig Momentet af alle de forskydende Kræfter i Normalsnittet. For et Arealelement dxdy er Forskydningens Moment lig:

$(\tau _{y}.x-\tau _{x}.y)dxdy$,

altsaa:

$M_{v}=\iint (Bx^{2}-Ay^{2})dxdy={\frac {2\vartheta G}{a^{2}+b^{2}}}\iint (b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2})dxdy$,

hvor Integrationen udstrækkes over hele Tværsnittet. Man finder:

$M_{v}={\frac {2\vartheta G}{a^{2}+b^{2}}}(b^{2}.{\frac {1}{4}}\pi a^{3}b+a^{2}.{\frac {1}{4}}\pi b^{3}a)$,

$M_{v}=\pi \vartheta G{\frac {a^{3}b^{3}}{a^{2}+b^{2}}}$,

hvoraf Vridningsvinklen kan beregnes.

Forskydningsspændingen i det vilkaarlige Punkt (x, y) er:

$\tau ={\sqrt {\tau _{x}^{2}+\tau _{y}^{2}}}={\sqrt {A^{2}y^{2}+B^{2}x^{2}}}$.

Ved Differentiation under Benyttelse af Ellipsens Ligning findes heraf, idet $a>b$, at største Spænding optræder for $x=0$, $y=\pm b$, altsaa i Endepunkterne af den lille Axe. Hvis man derimod regnede ganske som ved den cirkulære Cylinder, altsaa under Forudsætning af plane Normalsnit efter Formforandringen, vilde man finde den største Spænding længst borte fra Axen, d. v. s. i Endepunkterne af den store Axe.