Teknisk Elasticitetslære/12

Fra Wikisource, det frie bibliotek
Spring til navigation Spring til søgning

Forfatterens Forlag Kjøbenhavn


Teknisk Elasticitetslære.djvu Teknisk Elasticitetslære.djvu/7 25-36

PD-icon.svg Dette værk er ikke beskyttet af ophavsret i Danmark, da ophavsmanden døde senest 31. december 1949. Det er ikke beskyttet efter amerikansk ophavsret, da det blev udgivet før 1. januar 1925.


§ 12. Inertimomenter og Centrifugalmomenter med Hensyn til Axer gennem samme Punkt; Inertiellipsen, Land's Konstruktion.

For en plan Figur, henført til et retvinklet Koordinatsystem, forudsættes følgende Størrelser bekendte:

Inertimomentet om X-Axen, ,

Inertimomentet om Y-Axen, ,
Centrifugalmomentet om X- og Y-Axerne, .

Der søges Ix', Iy' og Zx'y', for et Par nye, paa hinanden vinkelrette Axer X' og Y', der med de oprindelige danne Vinklen ; Begyndelsespunktet er det samme.

Naar Koordinatsystemet drejes en Vinkel , haves:

,

.

Ved Indsættelse heraf i Udtrykkene for Ix', Iy' og Zx'y' faas:

,

og analoge Udtryk for Iy' og Zx'y'; altsaa:

(1).

Ved Addition af de to første Ligninger findes:

,

saa at Summmen af Inertimomenterne med Hensyn til to paa hinanden vinkelrette Axer gennem samme Punkt er konstant. Idet Arealelementet dF har en Afstand fra Begyndelsespunktet, haves:

,

hvilken Størrelse ofte benævnes Figurens polære Inertimoment.

Sættes i den første af Ligningerne (1) = 45°, faas:

,

hvor Iz betegner Inertimomentet om den Axe, der halverer Vinklen mellem X- og Y-Axernes positive Retninger. Ved Hjælp heraf kan Zxy bestemmes alene ved de i § 11 meddelte Inertimoment-Konstruktioner.

Inertiellipsen. Afsætter man ud ad hver Linie gennem Begyndelsespunktet et Stykke, der er omvendt proportionalt med Inertimomentet om denne Linie, ville alle Endepunkterne ligge paa en Ellipse. Ud ad Linien X', der med X-Axen danner Vinklen , afsættes Længden ; Koordinaterne til Endepunktet ere da:

, ,

og ved Elimination af mellem disse to og den første af Ligningerne (1) faas:

,

som er Ligningen for en Ellipse. Dennes Axer kaldes Hovedaxerne; tages de til Koordinataxer, bliver Ligningen:

,

hvor I1 og I2 betegne Hovedaxernes Inertimomenter (Hovedinertimomenterne).

Centrifugalmomentet med Hensyn til Hovedaxerne er Nul; Hovedinertimomenterne ere Maximum og Minimum af Inertimomenterne om Axer gennem Punktet.

Ved Ligningen ovenfor er der givet et helt System af ligedannede Ellipser; vi ville i det følgende stadig benytte den, for hvilken , idet i1 og i2 betegne Inertiradierne om Hovedaxerne; denne specielle Ellipse har Ligningen:

.

Man lægger Mærke til, at i2 er Inertiradius om Y-Axen, i1 om X-Axen.

Ved Hjælp af Inertiellipsen kan man finde Inertimomenter og Centrifugalmoment om vilkaarlige nye Axer. I Fig. 32, Pl. 4, forudsættes Ellipsen bekendt; man skal finde Ix', Iy' og Zx'y'.

Der trækkes en Tangent CD parallel med Y'-Axen; dens Røringspunkt er D, dens Afstand fra Centrum OC. Idet , og idet vi analogt hermed sætte (herved er zx'y' defineret), haves da:

, . (2).

Afstanden fra Centrum til en Tangent, hvis Normal danner Vinklen med X-Axen, er:

.

Paa den anden Side faas af Ligningerne (1), naar man gaar ud fra Hovedinertimomenterne som bekendte:

,

eller

,

altsaa

.

OD og Y'-Axen ere et Par konjugerede Diametre, altsaa haves:

;

endvidere er , altsaa og

.

Nu er ; Nævneren her er lig iy'2, hvorved:

.

Paa den anden Side faas af den sidste af Ligningerne (1):

,

altsaa

,

eller

.

Idet vi i Fig. 32 have forudsat I1 > I2, ses CD af et af Udtrykkene ovenfor at være positiv, naar er positiv, altsaa naar ; dette er Tilfældet, naar D's y'-Koordinat er positiv.

Kender man Ix, Iy og Zxy for et Par vilkaarlige retvinklede Axer, kan man i hver Ellipsekvadrant angive en Tangent og dens Røringspunkt, hvorved Inertiellipsen er bestemt; dernæst kan man ved Ellipsens Hjælp bestemme Inertimomenter og Centrifugalmomenter for vilkaarlige andre Axer.

Vi ville dernæst betragte Anvendelsen af skævvinklede Koordinater. Gaar man ud fra et retvinklet Koordinatsystem og drejer X-Axen ; til Stillingen X' (Fig. 33, Pl. 4), haves:

Herved findes:

(3).

Af den sidste Ligning faas, at Centrifugalmomentet er Nul, hvis Vinklen mellem Axerne er bestemt ved:

. (4).

Indføres ogsaa for skævvinklede Koordinater Betegnelserne:

, ,

findes:

,

,

og ved Benyttelse af Udtrykket for iy':

.

I Fig. 34, Pl. 4, er Inertiellipsen givet. For det retvinklede Koordinatsystem (X, Y) haves da:

, .

Naar X-Axen drejes hen til Stillingen X', bliver

, ,

altsaa :

, . (5).

Inertiellipsen har følgelig ganske de samme Egenskaber for skævvinklede som for retvinklede Koordinator: man finder i begge Tilfælde Inertiradius om den ene Axe som Afstanden ud til den med Axen parallele Tangent, maalt i den anden Koordinataxes Retning. og Længden fra den anden Koordinataxes Skæringspunkt med Tangenten til Røringspunktet er proportional med Centrifugalmomentet.

Holdes Y'-Axen fast, medens X'-Axen drejes, ser man, at Zx'y' skifter Fortegn, naar Punktet E (Fig. 34) passerer D. Zx'y' er positiv, naar D's y'-Koordinat er positiv.

OD er den konjugerede Diameter til Y'-Axen; falder X'-Axen i OD, bliver Zx'y' = 0, altsaa:

Centrifugalmomentet med Hensyn til et Par konjugerede Diametre i Inertiellipsen er Nul, og omvendt: Betingelsen for Zx'y' = 0 er, at Axerne ere konjugerede Diametre. Vinklen mellem OD og Y'-Axen maa altsaa være bestemt ved Ligning (4):

,

hvilket ogsaa faas af Fig. 34.

Hvis X'-Axen falder i OD, er iy' = OD; Inertiradius om den ene af to konjugerede Diametre er lig Længden af den konjugerede Halvdiameter.

Ved at kombinere det nu meddelte angaaende Inertimomenter og Centrifugalmomenter om Axer gennem samme Punkt med Reglerne for Parallelforskydning af Axerne kan man bestemme Inerti- og Centrifugalmomenter om ganske vilkaarlige Axer, naar man blot kan finde dem for et enkelt Par Axer. I Almindelighed er det simplest at faa fat paa dem for et Par Axer gennem Figurens Tyngdepunkt; findes der en Symmetriaxe, kan man strax gaa ud fra Hovedaxerne.

Opg 4. Naar man kender Tyngdepunktets Inertiellipse, kan Inertimomentet (ret- eller skævvinklet) om en vilkaarlig Axe udtrykkes som Produktet af Figurens Areal (F), Tyngdepunktets Afstand (a) fra Axen og Axens Antipols Afstand (b) fra Axen (I = F.a.b). (Ved en Linies Antipol m. H. t. en Ellipse forstaas det symmetriske Punkt til Liniens Pol m. H. t. Ellipsens Centrum: analogt hermed taler man om et Punkts Antipolar).

Opg. 5. Naar man kender Tyngdepunktets Inertiellipse, kan Centrifugalmomentet (ret- eller skævvinklet) udtrykkes som Produkt af: Figurens Areal (F), Tyngdepunktets Afstand (a) fra den ene Axe og Afstanden (c) fra denne Axes Antipol til den anden Axe (Z = F.a.c): Afstandene maales i Axernes Retninger.[1]

Land' s Konstruktion[2]. Ved Subtraktion af de to første af Ligningerne (1) ovenfor faas:

.

Heri og i den sidste af Ligningerne (1) indføres:

,

, ,

hvorved faas:

,

.

Disse Ligninger ere netop dem, der skulle anvendes for at iværksætte en Koordinatændring fra et retvinklet System (u, v), til et nyt retvinklet System (u', v'), der med det første danner Vinklen . Hvis man altsaa i et givet retvinklet Koordinatsystem afsætter et Punkt med Koordinaterne u og v, saa kunne u' og v' findes som Koordinater til samme Punkt i et System, der faas af det første ved en Drejning gennem Vinklen i den positive Omdrejningsretning (fra u-Axen til v-Axen). — I Fig. 35, Pl. 4, er ud ad Y-Axen (idet Ix er forudsat > Iy) afsat OR = Ix, RY = Iy, og over OY som Diameter er tegnet en Cirkel, der altsaa tangerer X-Axen i O. Endvidere er afsat RT = Zxy (i den positive X-Retning, hvis Zxy er positiv). Man har da: , u = RT; u- og v-Axernes positive Retninger ere angivne i Figuren.

Naar nu Axerne XY drejes Vinklen til Stillingen X'Y', vil Systemet (u, v) blive drejet Vinklen til Stillingen (u', v'), og T's Koordinater i dette nye System angive altsaa Størrelserne:

, .

Idet Ix' + Iy' = Ix + Iy = Cirklens Diameter, haves nu:

, , .

Naar man har tegnet Cirklen og afsat Punktet T som ovenfor beskrevet, findes altsaa Zx'y' for et Par nye retvinklede Axer OX' og OY' som T's Afstand fra Diameteren X'Y', og Fodpunktet R' deler Diameteren X'Y' i Stykkerne R'X' = Iy' (nærmest ved X') og R'Y' = Iy' (nærmest ved Y'). —

Ved denne Konstruktion danner man sig let et Billede af, hvorledes Inertimomenter og Centrifugalmomenter variere, naar Axerne dreje sig. Centrifugalmomentet bliver aabenbart Nul, naar Diameteren X'Y' gaar gennem T, altsaa falder sammen med MT. De tilsvarende Axeretninger ere O1 og O2, Hovedaxerne. Inertimomenterne om disse Axer, Hovedinertimomenterne, ere T1 og T2[3] og ses at være det største og det mindste af Inertimomenterne om Axer gennem O; Axen O1, om hvilken Inertimomentet er størst, kaldes den første Hovedaxe (O1 og O2 ere Axerne i Inertiellipsen). — Centrifugalmomentet naar sin største Værdi (= MT), naar den bevægelige Diameter staar vinkelret paa MT; de hertil svarende Axer halvere Vinklerne mellem Hovedaxerne. — Centrifugalmomentet om Axerne OX' og OY' findes altsaa som Punktet T's Afstand fra Diameteren X'Y'; for at bestemme Fortegnet for Zx'y' skulde man egentlig være klar over den positive Retning af u'-Axen svarende til hver Stilling af den bevægelige Diameter X'Y'. Alle Besværligheder i saa Henseende kunne imidlertid omgaas, idet man benytter sig af, at Centrifugalmomentet kun skifter Fortegn, naar den bevægelige Diameter falder i MT, altsaa naar X' falder i Punkterne 1 eller 2. Zx'y' har følgelig samme Fortegn som Zxy (= RT), hvis man kan dreje OX hen til Stillingen OX', uden at X' derved passerer 1 eller 2, ellers (for én Passage) modsat Fortegn. Da Inertimomenterne altid ere positive, maa Punktet T altid falde indenfor Cirklen.

Den angivne Konstruktion kan ogsaa anvendes for skævvinklede Koordinater og for Overgang fra ret- til skævvinklede. I Fig. 36, Pl. 5, er Cirklen og Punktet T bestemt ganske som i Fig. 35. For de vilkaarlige retvinklede Axer OX og OY haves altsaa: R'T = Zxy, R'Y = Iy. Drejes nu OX til Stillingen OX', der med OY danner Vinklen , findes T's Afstand fra Korden X'Y ved at projicere YR'T ind paa R''T. Dette giver:

,

og ved Sammenligning af dette Udtryk med den sidste af Ligningerne (3) ovenfor findes:

.

Zx'y' er Centrifugalmomentet om de skævvinklede Axer OX' og OY, idet Arealelementernes Afstande fra Axerne maales i de skæve Retninger. Hvis man derimod, som man undertiden har gjort, maalte disse Afstande vinkelret paa Axerne, vilde man (Fig. 37, Pl. 5) have:

og altsaa

.

Vi ville dog for at undgaa Forvexlinger fastholde vor oprindelige Definition af Centrifugalmomentet i skævvinklede Koordinater, altsaa derved forstaa Zx'y'.

Størrelsen kan imidlertid benyttes til at gøre Overgang til Inertimomenterne. Hvis nemlig Vinklen mellem Axerne bliver Nul, falde x1 og y1 (Fig. 37) sammen, og gaar over til at betyde Inertimomentet i retvinklede Koordinater. Lader man Axerne falde sammen i OX' (Fig. 36), gaar Korden X'Y over til at blive Tangent til Cirklen i X', og Afstanden TP fra T til Tangenten er da Inertimomentet i retvinklede Koordinater om Axen OX'; paa samme Maade er TQ Inertimomentet i retvinklede Koordinater om OY. Dette er forøvrigt kun et almindeligere Udtryk for den ovenfor viste Konstruktion af Ix og Iy (som de Stykker, hvori Diameteren deles af Fodpunktet for den vinkelrette fra T).

Ifølge den første af Ligningerne (3) ovenfor finder man Inertimomentet i skævvinklede Koordinater ved blot at multiplicere Inertimomentet om samme Axe i retvinklede Koordinater med . — Resultaterne af vore Undersøgelser angaaende skævvinklede Koordinater kunne nu udtrykkes saaledes: man finder Inertimomenter og Centrifugalmoment, begge i skævvinklede Koordinater, med Hensyn til Axerne OX' og OY ved blot al multiplicere Punktet T's Afstande fra Tangenterne i X' og Y og fra Korden X'Y med , altsaa:

, ,

.

Af Fig. 36 ses, at Zx'y' bliver Nul, naar Korden X'Y gaar gennem T. Linier fra O til Endepunkterne af saadanne Korder kaldes konjugerede Axer (ere konjugerede Diametre i Inertiellipsen).

Kender man Hovedaxerne og Hovedinertimomenterne i Forvejen, bliver Konstruktionen simplere, idet Punktet T falder paa Y-Axen.

Formler til Beregning af Hovedaxernes Stilling og Hovedinertimomenterne. Hvor det kommer an paa større Nøjagtighed, maa man helst beregne disse Størrelser. Af Fig. 35, Pl. 4, faas Vinklen fra X-Axen til den første Hovedaxe, O1, lig , og ;

,

altsaa

; (6).

det samme faas af den sidste af Ligningerne (1), naar man bestemmer den Værdi af , for hvilken Zx'y' = 0.

Af Figuren ses endvidere, at Punkterne T og 1 altid ville falde paa modsat Side af OY, hvoraf følger, at Zxy og altid have modsat Fortegn; herved kan den rigtige Værdi for vælges (Ligningen ovenfor bestemmer to Værdier).

Inertimomentet I1 om Axen O1 er lig T1 = OS, idet TSO1, og .

Idet , haves altsaa:

(7).

Nogle hyppigt forekommende Inertimomenter. Inertimomenterne af Figurer, der begrænses af rette Linier, kunne altid findes ved Inddeling i Rektangler, Trekanter o. l. simple Figurer og Addition eller Subtraktion af de enkelte Deles Inertimomenter.

For regulære Figurer er Tyngdepunktets Inertiellipse en Cirkel, altsaa alle Inertimomenter om Axer gennem Tyngdepunktet lige store.

Axen er i Tabellen nedenfor angivet ved en punkteret Linie. For Cirklen gaar Axen gennem Centrum (ikke angivet i Fig.).

Figur Inertimoment Inertiradius
Teknisk Elasticitetslære - S35-inertimoment for rektangel.png
Teknisk Elasticitetslære - S35-inertimoment for rektangel grundlinie.png
Teknisk Elasticitetslære - S35-inertimoment for C- og H-profil.png
Teknisk Elasticitetslære - S35-inertimoment for kvadrat.png
Teknisk Elasticitetslære - S35-inertimoment for trekant.png
Teknisk Elasticitetslære - S35-inertimoment for trekant grundlinie.png
Teknisk Elasticitetslære - S35-inertimoment for cirkel.png
Teknisk Elasticitetslære - S35-inertimoment for ellipse.png

Exempel. Man skal bestemme Hovedaxernes Stilling og Hovedinertimomenterne for et Z-Jærn, N. P. Nr. 16. Alle Dimensioner findes i Fig. 38, Pl. 5.

For at finde Ix, Iy og Zxy inddeles Figuren i tre Rektangler, Hoved, Fod og Krop.

.

.

.

Zxy er Nul for Kroppen, for Hoved og Fod findes det ved Formlen for Parallelflytning af Axerne.

Af Lign. (6) faas:

.

Da Zxy er positiv, skal tages: , hvorved .

Af Lign. (7) findes nu:

.

.

Hovedaxernes Stilling er vist i Fig. 38.



  1. Culmann: Die graphische Statik, II. Aufl. 1875. S. 404. De i disse Opgaver udtrykte Sætninger danne et af de væsentligste Udgangspunkter for den af Culmann og W. Ritter udviklede grafiske Beregning af elastiske Buer; cfr. W. Ritter: Der elastische Bogen, Zürich 1886.
  2. Methoden er oprindelig angivet af Mohr, senere videre udviklet af Rob. Land i Zeitschr. f. Bauwesen, 1892 (ogsaa som Særtryk: »Die Ermittelung der Spannungsvertheilung und des Kernes«, Berlin. 1892). Beviset her er tildels taget efter P. W. Almquist: Grafostatik. Stockholm. 1893.
  3. Hjælpecirklens Diameter er her altsaa I1 + I2. Ved en anden almindelig anvendt Konstruktion (se f. Ex. Müller-Breslau: »Die graphische Statik der Baukonstruktionen«, I, 1887) benyttes en Cirkel med Diameter I1 - I2.