Teknisk Elasticitetslære/11

by Asger Ostenfeld

§ 11. Højere Momenter af parallele Kræfter eller plane Arealer. Ligesom man ved det statiske Moment af en Række parallele Kræfter forstaar

$\sum Px=P_{1}x_{1}+P_{2}x_{2}+\ldots$,

hvor Afstandene x fra Momentcentret (eller en Axe parallel med Kraftretningen) til Kræfterne kunne maales i en vilkaarlig skraa Retning (specielt vinkelret), saaledes taler man ogsaa om Momenter af højere Orden og forstaar herved:

$\sum Px^{n}=P_{1}{x_{1}}^{n}+P_{2}{x_{2}}^{n}+\ldots$

Af disse er det i Almindelighed kun Tilfældet: n = 2, der har praktisk Betydning; $I=\sum Px^{2}$ kaldes Inertimomentet. Ogsaa denne Størrelse kan findes ved Hjælp af Tovpolygoner.

Culmann's Methode. Man kan skrive Inertimomentet som: $I=(P_{1}x_{1}).x_{1}+(P_{2}x_{2}).x_{2}+\ldots$; man kan altsaa betragte Inertimomentet som statisk Moment af Kræfter P₁x₁, P₂x₂..., virkende i de oprindelige Kraftlinier.

I Fig. 30, Pl. 4, skal bestemmes Inertimomentet af Kræfterne P₁, P₂, P₃ med Hensyn til Axen LL. Man tegner først en Tovpolygon (den punkterede) med en vilkaarlig Poldistance h₁ (maalt i samme skraa Retning som x₁, x₂...); denne Tovpolygons Sider afskære paa Axen LL Stykkerne

${\overline {1-2}}={\frac {P_{1}.x_{1}}{h_{1}}}$, ${\overline {2-3}}={\frac {P_{2}.x_{2}}{h_{1}}}\ldots$

Disse Størrelser betragtes nu som Kræfter, virkende i de samme Linier som P₁, P₂..., og man tegner en Tovpolygon (den fuldt optrukne) til dem; Kraftpolygonen lader man blive liggende paa Axen LL, Poldistancen h₂ maales atter i x-Retningen. Den nye Tovpolygons Sider afskære paa Axen LL Stykkerne:

${\overline {1'-2'}}={\frac {\left({\frac {P_{1}.x_{1}}{h_{1}}}\right).x_{1}}{h_{2}}}={\frac {P_{1}.{x_{1}}^{2}}{h_{1}.h_{2}}}\ldots \ldots$,

og dens yderste Sider afskære altsaa Stykket

$t=\sum {\frac {Px^{2}}{h_{1}.h_{2}}}$, hvoraf $I=h_{1}.h_{2}.t.$

Inertimomentet er af Dimensionen kg.cm²; en af de tre Størrelser skal følgelig maales paa Kraftmaalestokken, de to andre paa Længdemaalestokken; hvilken der maales som Kraft, er ligegyldigt. h₁ maa helst vælges en Del mindre end ${\frac {1}{2}}\sum P$, h₂ kan derimod godt tages en Del større end ${\frac {1}{2}}\sum {\frac {Px}{h_{1}}}$.

Mohrs Methode. Størrelsen $I=\sum Px^{2}$ kan ogsaa bestemmes ved den første Tovpolygon alene, idet man kan bevise, at den er proportional med det Areal, der indesluttes af Tovpolygonen, dens forlængede første og sidste Side og Axen LL.

Dette Areal (skraveret i Fig. 30) kan nemlig deles i Trekanter, hvis Toppunkter ligge paa Kraftlinierne, og hvis Grundlinier ere de Stykker ${\overline {1-2}}$, ${\overline {2-3}}$.... (Fig. 30, Pl. 4), der af Tovpolygonsiderne afskæres paa Axen LL. Trekanternes Højder ere: $x_{1}\sin \alpha$, $x_{2}\sin \alpha$.... Hele Arealet bliver:

$F_{1}={\frac {1}{2}}.x_{1}\sin \alpha .{\frac {P_{1}x_{1}}{h_{1}}}+{\frac {1}{2}}.x_{2}\sin \alpha .{\frac {P_{2}x_{2}}{h_{1}}}+\ldots =$

${\frac {\sin \alpha }{2h_{1}}}.\sum Px^{2}={\frac {\sin \alpha }{2h_{1}}}.I$,

hvoraf:

$I={\frac {2h_{1}}{\sin \alpha }}.F_{1}$.

Hvis h₁ maales paa Kraftmaalestokken, skal F₁ maales som [Længde]²

Ved et plant Areals Inertimoment med Hensyn til en Axe LL forstaas: $I=\int x^{2}dF$, hvor x betegner Afstanden (vinkelret eller skraa) fra Arealelementet dF til Axen. Det kan konstrueres efter begge de angivne Methoder, idet man inddeler Arealet i Strimler parallele med Axen og erstatter de enkelte Strimlers Arealer med Kræfter, virkende i Strimlernes Tyngdepunkter og parallelt med Axen (angaaende den praktiske Udførelse af Konstruktionen gælder det i § 9 sagte).

Culmann's Methode. Naar de Liniestykker, der i Kraftpolygonen repræsentere Strimlernes Arealer, kaldes P₁, P₂...., finder man direkte ved Konstruktionen: $\sum Px^{2}=h_{1}.h_{2}.t$.

Imidlertid har man, idet Strimlernes Arealer betegnes $\Delta F$:

$\Delta F=a.P$,

hvor a er den fælles Grundlinie i de Rektangler, hvis Højder (P) man har brugt som Kraftstørrelser; naar man altsaa har inddelt i Strimler med konstant Bredde b og har anvendt en Reduktionsvinkel med Forholdet ${\frac {1}{n}}$, haves a = n.b.

Derved faas

$\sum \Delta F.x^{2}=a.h_{1}h_{2}.t$.

Størrelsen $\sum \Delta F.x^{2}$ er imidlertid tilnærmelsesvis lig $\int x^{2}dF$. Hvad det er for en Fejl, man begaar ved at sætte disse to Udtryk lige store, kan indses paa følgende Maade.

Naar man kender Inertimomentet I₀ af en Figur med Hensyn til en Axe gennem Tyngdepunktet, har man, som bekendt, Inertimomentet I_x med Hensyn til en med den første parallel Axe i Afstanden k:

$I_{x}=I_{0}+Fk^{2}$,

idet F betegner hele Figurens Areal. Anvendes denne Formel paa de enkelte Strimler, hvori man har delt Arealet, faar man hele Figurens Inertimoment

$I=\sum I_{0}+\sum \Delta F.x^{2}$.

Ved at regne med endelige Størrelser $\Delta F$ begaar man altsaa ved Konstruktionen ovenfor den Fejl ikke at medtage Leddet $\sum I_{0}$.

Idet Inertiradius i er defineret ved:

$I=F.i^{2}$,

faar man for den enkelte Strimmel:

$I_{x}=\Delta F.i_{x}^{2}=I_{0}+\Delta F.x^{2}=\Delta F({i_{0}}^{2}+x^{2})$,

og for hele Figurens Inertimoment:

$I=\sum I_{x}=\sum \Delta F.{i_{x}}^{2}$,

hvoraf ses, at man for at undgaa Fejlen skulde lade Kræfterne P virke i Afstanden $i_{x}={\sqrt {{i_{0}}^{2}+x^{2}}}$ fra Axen i Stedet for i Afstanden x.

Idet Strimlerne tilnærmelsesvis kunne betragtes som Rektangler, og idet et Rektangels Inertimoment med Hensyn til en Axe gennem Midtpunktet, parallel med de to Sider, er $I_{0}={\frac {1}{12}}bh^{3}$, (b er Rektangelsiden parallel med Axen, h Siden vinkelret paa denne), ses, at $\sum I_{0}$ bliver forsvindende, naar man vælger h, altsaa Strimlernes konstante Bredde, lille.

Naar man gør dette, har man da nøjagtigt nok:

$I=a.h_{1}.h_{2}.t$.

I er af Dimensionen cm⁴; alle 4 Størrelser skulle altsaa maales paa Tegningens Længdemaalestok, a, h₁ og h₂ kunne vælges som runde Tal; h₁ vælges helst mindre end Kraftliniens halve Længde, h₂ kan derimod godt tages forholdsvis stor.

Mohrs Methode. Hvis man kunde konstruere Tovpolygonen til uendelig smaa Kræfter (Arealelementerne dF) i Stedet for til Strimlernes Arealer $\Delta F$, vilde man faa en kontinuerlig Tovkurve, og Arealet mellem den, de yderste Tovpolygonsider og Axen vilde her nøjagtigt være proportionalt med Inertimomentet. Naar man deler i Strimler med endelig Bredde, haves deres Arealer, ligesom ovenfor,

$\Delta F=a.P$;

endvidere er:

$\sum Px^{2}={\frac {2h_{1}}{\sin \alpha }}F_{1}$,

hvoraf:

$\sum \Delta Fx^{2}={\frac {2ah_{1}}{\sin \alpha }}F_{1}$.

Man sætter nøjagtigt nok:

$I={\frac {2ah_{1}}{\sin \alpha }}F_{1}$,

idet Fejlen, man begaar ved at regne Arealet F₁ til Tovpolygonen, ikke til Tovkurven, er forsvindende, naar man vælger Strimlerne tilstrækkelig smalle. Har man til at begynde med faaet inddelt i for brede Strimler, kan man ofte nøjagtigt nok tegne Tovkurven paa fri Haand, tangerende Tovpolygonen, og bestemme Arealet helt ind til Kurven efter Simpsons Formel. Eller man kan betragte Tovkurven som en Parabelbue fra Røringspunkt til Røringspunkt og til Arealet F₁, der er begrænset af Tovpolygonen, addere Parabeltrekanterne ABCD. Arealet af $ABCD={\frac {1}{3}}\triangle ABC$ (Fig. 31, Pl. 3).

I Fig. 26, Pl. 4, er konstrueret Inertimomentet m. H. t. den vandrette Tyngdepunktsaxe efter baade Mohrs og Culmann's Methoder. Konstruktionen af Kraftpolygonen (den første) er forklaret i § 9. Resultaterne ere indskrevne paa Tegningen. Saadanne Konstruktioner maa forøvrigt helst udføres i sand Størrelse.

Foruden Inertimomenterne af et plant Areal er der et andet Moment af 2den Orden, som man ofte faar Brug for, nemlig Centrifugalmomentet Z med Hensyn til to Axer. Det er defineret ved:

$Z_{xy}=\int x.y.dF$,

hvor x og y betyde Afstandene, skraat eller vinkelret maalte. fra Arealelementet dF til Axerne. Det kan findes ved en Konstruktion, der er ganske analog med Culmann's ovenfor, idet man sætter

$Z_{xy}=\sum xy\Delta F=a\sum P.x.y=a\sum (P.x).y$.

Man inddeler altsaa i Strimler, lader Kræfterne P virke parallelt med y-Axen og finder ved en Tovpolygon Størrelserne ${\frac {P_{1}x_{1}}{h_{1}}}\ldots$; dernæst lader man disse statiske Momenter virke som Kræfter parallele med x-Axen, og ved en ny Tovpolygon findes da Størrelserne

${\frac {\left({\frac {P_{1}.x_{1}}{h_{1}}}\right).y_{1}}{h_{2}}}\ldots$

Kaldes det Stykke, som den 2den Tovpolygons yderste Sider afskære paa x-Axen, c, haves:

$Z_{xy}=a.h_{1}.h_{2}.c$.

Vi komme senere (§ 12) til en anden Konstruktion, som i Almindelighed er mere praktisk.

Kender man Centrifugalmomentet Z₀ med Hensyn til to Axer gennem Figurens Tyngdepunkt, haves Centrifugalmomentet Z_ab, med Hensyn til to nye, med de første parallele Axer i Afstandene a og b:

$Z_{ab}=\int (x+a)(y+b)dF=Z_{0}+F.a.b$.

Er den ene af Axerne en Symmetriaxe for Figuren (retvinklet eller skævt) og den anden parallel med Forbindelseslinierne for symmetriske Punkter haves Centrifugalmomentet lig Nul; Elementerne xydF er nemlig lige store med modsat Fortegn for to symmetriske Punkter.

Ved Centrifugalmomentet med Hensyn til Axerne i et skævvinklet Koordinatsystem forstaas i Almindelighed $\int xydF$, hvor x og y maales i Koordinataxernes Retninger; undertiden regnes dog x og y som de vinkelrette Afstande fra Axerne; her skal det altid forstaas paa den førstnævnte Maade.