Teknisk Elasticitetslære/14

by Asger Ostenfeld

I. Træk eller Tryk.

§ 14. Naar en Stang er paavirket til Træk efter sin Længderetning, vil Formforandringen bestaa i en Forøgelse af Længden og en Formindskelse af Tværsnittets Dimensioner.

Vi se foreløbig bort fra den sidste Virkning og betragte en fuldstændig prismatisk Stang af homogent Materiale, paavirket til Træk af en ensformigt over Normalsnittet fordelt Kraft; Kraften er parallel med Stangens Længderetning. Stangens oprindelige Længde er l, dens Tværsnit F; hele Kraftens Størrelse er P (kg), Kraften pr. Arealenhed af Normalsnittet (ifølge den ensformige Fordeling):

$\sigma ={\frac {P}{F}}$ (kg./cm.²).

Idet alle de forskellige »Fibre« paalangs i Stangen maa forholde sig ens, kunne vi betragte et Prisme med Tværsnit lig Arealenheden, Længde l, og have for et saadant, idet Forlængelsen kaldes $\lambda$:

ifølge Hooke's Lov: $\lambda =C.\sigma$,

ifølge Forudsætningen om Homogenitet: $\lambda =C_{1}.l$,

altsaa: $\lambda =K.\sigma .l$ eller $\sigma =K_{1}.{\frac {\lambda }{l}}$,

hvor K₁ (eller K) er en Konstant, der alene afhænger af Materialet. Konstanten K₁, benævnes Elasticitetskoefficienten^[1] og betegnes ved E, hvorved Ligningen bliver:

$\lambda ={\frac {\sigma l}{E}}$ eller $\sigma =E{\frac {\lambda }{l}}$,

(1).

og ved Indførelse af ${\frac {P}{F}}=\sigma$:

$\lambda ={\frac {Pl}{EF}}$ eller $P=EF{\frac {\lambda }{l}}$.

(1 a).

Betydningen af Størrelsen E kan findes ved i Formlen (1) at sætte $\lambda =l$, hvilket giver $E=\sigma$; E er altsaa den Kraft pr. Arealenhed (kg./cm.²), der bevirker en Forlængelse lig den oprindelige Længde, eller som vilde bevirke en saadan Forlængelse, hvis det var muligt; imidlertid er selvfølgelig Proportionalitetsgrænsen overskreden længe forinden.

Af Ligning (1) findes ogsaa, idet man indfører Betegnelsen:

${\frac {\lambda }{l}}=\epsilon =$ Forlængelsen pr. Længdeenhed:

$E={\frac {\sigma }{\epsilon }}$.

Elasticitetskoefficienten er altsaa Forholdet mellem Kraften pr. Arealenhed og Forlængelsen pr. Længdeenhed.

Hvis man i et Koordinatsystem afsætter $\sigma$ som Ordinat, $\epsilon$ som Abscisse, vil Ligning (1), $\sigma =E.\epsilon$, fremstille en ret Linie gennem Begyndelsespunktet; E er altsaa lig tg. af denne Linies Vinkel med $\epsilon$-Axen. Almindeligt har man $\sigma =f(\epsilon )$; den herved bestemte Kurve er forskellig for de forskellige Materialer. Denne Kurve kaldes Materialets »Arbejdslinie« og er af stor Vigtighed ved Bedømmelsen af Materialets elastiske Egenskaber; dens nærmere Udseende komme vi tilbage til i et følgende Afsnit. Den indbefatter Hooke's Lov som specielt Tilfælde. Naar Hooke's Lov ikke gælder, kan man naturligvis udtrykke dette saaledes, at Arbejdslinien kun er retlinet for en uendelig lille Tilvæxt til $\sigma$ eller $\epsilon$ man kommer paa den Maade til at opfatte E som tg. af Vinklen mellem $\epsilon$-Axen og Tangenten til Kurven $\sigma =f(\epsilon )$ og taler derfor om en variabel Elasticitetskoefficient for vedkommende Materiale. I hele dette Afsnit betragte vi imidlertid E som konstant.

Naar et Prisme er paavirket til Tryk efter sin Længderetning af en over Normalsnittet ensformig fordelt Kraft $P=\sigma F$, udleder man paa ganske den samme Maade som ovenfor en Relation mellem Kraft og Formforandring. Relationen bliver den samme som for Træk [Lign. (1) eller (1 a)]. naar man heri lader $\lambda$ betegne den totale Forkortelse, E Elasticitetskoefficienten for Tryk. Denne sidste Størrelses Betydning er ganske analog med Betydningen af Elasticitetskoefficienten for Træk, altsaa er E her lig Forholdet mellem Kraften pr. Arealenhed og Forkortelsen ($\epsilon$) pr. Længdeenhed. For smedeligt Jærn har E meget nær samme Værdi for Træk og Tryk, og da de paa Grundlag af Hooke's Lov udviklede Formler nærmest kun gælde for dette Materiale, ville vi, som man ogsaa plejer at gøre, her almindeligt regne med samme Værdi for Træk og Tryk og bruge samme Betegnelse E for begge Størrelser.

Idet vi ogsaa afsætte Størrelserne $\sigma$ og $\epsilon$ for Tryk som Ordinat og Abscisse i et Koordinatsystem, og idet vi regne Tryk-Spændinger og Forkortelser negative (i Sammenligning med Træk), komme vi ogsaa her til en ret Linie som Udtryk for Relationen mellem $\sigma$ og $\epsilon$, og naar E har samme Værdi for Træk og Tryk, falde de to rette Linier i hinandens Forlængelse.

For fuldstændig at faa Formforandringen bestemt mangle vi endnu et Udtryk for Tværsnitsformindskelsen, hvis Legemet er strakt, eller Tværsnitsforøgelsen, hvis det er trykket. Man antager Formforandringen pr. Længdeenhed $\epsilon _{q}$ vinkelret paa Kraftretningen lige stor i alle Retninger og ligefrem proportional med Formforandringen pr. Længdeenhed i Kraftretningen ($\epsilon$), sætter altsaa:

$\epsilon _{q}={\frac {1}{m}}.\epsilon$.

For fuldkomment homogene Legemer have Navier og Poisson ad theoretisk Vej udledt, at m = 4. Direkte Maalinger have i Almindelighed for Byggematerialer givet Værdier mellem 3 og 4. Man finder forøvrigt temmelig forskellige Opgivelser; formodentlig hidrørende fra ikke ganske identisk Beskaffenhed af de undersøgte Stoffer. Exempelvis anføres følgende:

	Værdier af ${\frac {1}{m}}$, angivne af
	Amagat[2]	Everett[3]
Staal	0,269	0,310
Svejsjærn		0,275
Støbejærn		0,267
Kobber	0,327	0,378
Messing	0,328	0,469?
Deltametal	0,340
Bly	0,423

I Praxis regner man i Almindelighed m = 4, hvilket ikke synes at afvige meget fra det rette for de forskellige Arter af Jærn og Staal.

Vi have nu fundet de nødvendige Relationer mellem Spændinger og Formforandringer, og hvis de ydre Kræfter virkelig ere ensformig fordelte over Stangens Endeflader, ogsaa mellem de ydre Kræfter og Formforandringerne. Den nævnte Betingelse er ganske vist sjældent opfyldt, meget ofte paavirkes Legemet kun (tilnærmelsesvis) i et enkelt Punkt, af en Enkeltkraft. For at Formlerne (1) og (1 a) i saa Fald skulle være anvendelige, maa det i alt Fald forlanges, at Kraftens Angrebspunkt er Endefladens Tyngdepunkt, ellers kan den ikke holde Ligevægt mod ensformigt over Normalsnittet fordelte Spændinger; og selv da kan Spændingen i Tværsnittene nærmest Enderne ikke være ensformig fordelt. Hvis Stangen imidlertid er nogenlunde lang, kan man nok for det midterste Stykke regne med Ligningerne (1) og (1 a). Paa samme Maade maa, hvis man har flere Enkeltkræfter, disses Resultant gaa gennem Tyngdepunktet, for at Spændingen skal kunne fordele sig ensformigt, og selv da sker dette kun tilnærmelsesvis i Midten af lange Legemer. Som Exempel herpaa kan nævnes det almindelige Normal-Prøvelegeme for Cementmørtel (Trækprøver), til hvilket Trækket fra Prøvemaskinen overføres i to symmetriske Punkter; men paa Grund af Prøvestykkernes ringe Længde kan Spændingen i Brudtværsnittet ikke antages ensformig fordelt; den sædvanligt opgivne Brudbelastning, som findes ved Formlen $P=\sigma .F$, er derfor sandsynligvis en Del for lille. Dette skulle vi senere komme tilbage til (§ 51).

Vi have nu alt fornødent for at løse de forskellige Opgaver. der kunne stilles. For et prismatisk Legeme med givne Dimensioner og paavirket af en given Kraft P, der nøjagtigt nok kan regnes ensformig fordelt over Stangens Endeflade, finder man Forlængelsen eller Forkortelsen ved Ligning (1 a). Naar man omvendt skal bestemme Dimensionerne (F), maa der foruden Kraften (P) og Materialet (E) være givet den »tilladelige Formforandring« ($\epsilon _{1}$); man finder da af Ligning (1 a):

$F={\frac {P}{E\epsilon _{1}}}$.

Til Formforandringen $\epsilon _{1}$, svarer der en Spænding r, den »tilladelige Fiberpaavirkning« bestemt ved Ligning (1), altsaa:

$r=E.\epsilon _{1}$,

og herved bliver Ligningen til Dimensionsbestemmelse:

$F={\frac {P}{r}}$.

Man former i Almindelighed Ligningen saaledes, fordi det er bekvemmere at angive den tilladelige Fiberpaavirkning end den tilladelige Formforandring, og fordi Betydningen af Ligningen er mere umiddelbart indlysende.

Denne Form af Ligningen vilde man forøvrigt have faaet direkte, hvis man som Princip for Dimensionsbestemmelsen havde opstillet dette, at Spændingen ikke maa overskride den tilladelige Fiberpaavirkning; saalænge Spænding og Formforandring ere proportionale, er det naturligvis ogsaa ligegyldigt, om man udtrykker sig paa den ene eller den anden Maade, men naar Proportionaliteten hører op, maa man træffe et Valg mellem de to Muligheder, og der kan da ikke godt være Tale om at gaa ud fra andet end Formforandringerne. Hvis man paa en eller anden Maade hindrer Formforandringen i at finde Sted, kunne Legemerne taale Indvirkningen af saa at sige uendelig store Kræfter; et Legeme, der paavirkes til Tryk, men ved Indeslutning paa hele den upaavirkede Del af sin Overflade hindres i at vige ud til Siden, kan ikke knuses ved noget Tryk.

Ved Formlerne (1 a) bestemmes kun Tværsnitsarealets Størrelse, dets Form er ligegyldig. Dette er dog ikke ganske Tilfældet i Virkeligheden, men da det navnlig konstateres ved Brudforsøg, skulle vi opsætte Omtalen deraf til næste Afsnit.

Endnu maa det bemærkes, at de udviklede Formler til Dimensionsbestemmelse af trykkede Legemer kun kunne anvendes, naar Længden ikke er for stor i Forhold til Tværsnitsdimensionerne. Det forudsættes nemlig, at Legemet kun paavirkes til direkte Tryk, men ved lange Prismer, Søjler, optræder der næsten altid en Tilbøjelighed til Bøjning ud til Siden, og derved kompliceres Sagen. Beregningen af Søjler skulle vi senere komme tilbage til.

Exempel. En 5m lang Rundjærnsstang skal taale et Træk paa 12ts. Bestem Diameteren og Stangens Forlængelse. Tilladelig Paavirkning regnes til 750 kg./cm.², E = 2000000 kg./cm.².

Man har: $F={\frac {1}{4}}\pi d^{2}={\frac {12000}{750}}=16cm.^{2}$, altsaa

d = 4,52 cm. ~ 4,6 cm.

$\lambda =\sigma {\frac {l}{E}}=750.{\frac {500}{2000000}}=0,19cm$.

Alle Længder maa indføres i cm. og Kraften i kg., naar r og E ere givne i disse Enheder.

Opg. 6. Hvor store Spændinger bevirkes der i en Jærnstang ved en Temperaturvariation af $\pm 35^{\circ }C.$, naar den er anbragt saaledes, at den ikke kan udvide sig eller trække sig sammen. Udvidelseskoefficienten er 0,000012 for 1° C., E = 2000000 kg./cm.².

Opg. 7. Hvor stor Afstand kan man anvende mellem Ophængningspunkterne for en Telegraftraad af 4 mm. Diameter, naar den hænger i en Bue med Pilhøjde lig ${\frac {1}{50}}$ af Længden. Vægten pr. m. er 0,1 kg., tilladelig Paavirkning 1200 kg./cm.². (Denne meget flade Kædelinie kan uden væsentlig Fejl erstattes med en Parabel under Beregningerne.)

1. C. Bach benytter ikke Konstanten E, men $\alpha =1:E$, som han kalder »Forlængelseskoefficient« (Dehnungskoefficient). Udtrykket for $\lambda$ bliver derved ganske analogt med det for en Temperaturvariation gældende ($\lambda =\epsilon tl$); dog fastholdes sædvanlig Benyttelsen af E.
2. Rapport XXVI. de la commission des méthodes d'essai des matériaux de construction, T. III, Paris 1895.
3. Christiansen: Indledning til den mathematiske Fysik, Kbhvn. 1887. I, S. 125.