Teknisk Elasticitetslære/15

by Asger Ostenfeld

§ 15. For en prismatisk Stang paavirket til Træk eller Tryk skal endnu undersøges, hvor stor en Arbejdsmængde, der behøves til at frembringe en vis Formforandring $\lambda _{1}$. Det antages, at Formforandringen voxer jævnt. uden Svingninger, op til Værdien $\lambda _{1}$: den ydre Kraft, der frembringer Formforandringen, maa altsaa ogsaa voxe jævnt op til den Værdi P₁, der ifølge Ligning (1a) svarer til $\lambda _{1}$, og saaledes at den i hvert Øjeblik udvikler lige saa stor en Arbejdsmængde, som de indre Spændinger konsumere. I et eller andet Øjeblik under Bevægelsen har den ydre Kraft Værdien P, Formforandringen den ifølge Ligning (1 a) tilsvarende Værdi $\lambda$, og i det paafølgende Tidselement udvikles og konsumeres der Arbejdsmængden $P.d\lambda$. Hele den søgte Arbejdsmængde er da

$\int _{0}^{\lambda _{1}}Pd\lambda$.

Naar man (Fig. 39, Pl. 5) afsætter P som Ordinat, $\lambda$ som Abscisse, faar man ifølge Ligning (1 a) en ret Linie OA, og Størrelsen $P.d\lambda$ betyder det i Fig. 39 skraverede Arealelement; den søgte Arbejdsmængde K er altsaa lig Arealet af Trekanten OAA₂,

$K={\frac {1}{2}}P_{1}.\lambda _{1}$.

Indføres heri:

$P_{1}=\sigma _{1}.F$, $\lambda _{1}={\frac {\sigma _{1}l}{E}}$,

faas:

$K={\frac {{\sigma _{1}}^{2}.Fl}{2E}}={\frac {1}{2E}}.{\sigma _{1}}^{2}.V$,

(2).

hvor V betegner Legemets Volumen.

Den konsumerede Arbejdsmængde er altsaa proportional med Slutningsspændingens Kvadrat og med Legemets Volumen. Størrelsen K kaldes Legemets Deformationsarbejde; Udtrykket forudsætter, at Proportionalitetsgrænsen ikke er overskreden. For fuldkommen elastiske Legemer angiver det tillige Størrelsen af den Arbejdsmængde, der kan magasineres i Legemet, og som dette vil give fra sig igen, naar det faar Lov til at gaa tilbage til sin oprindelige Længde.

Ved Udtrykket (2) kan ogsaa findes den Spænding og ved Ligning (1) dernæst den tilsvarende Formforandring, der frembringes, naar en given ydre Arbejdsmængde meddeles til Legemet, bl. a. ogsaa naar den overføres pludseligt, altsaa virker som et Stød. Vi ville undersøge et Par specielle Tilfælde af Stød.

1) Kraften P₁ begynder strax at virke med sin fulde Størrelse, dog uden Begyndelseshastighed. Legemet kan ikke strax antage den til Kraften svarende Forlængelse; i et vilkaarligt Øjeblik under Bevægelsen, hvor Formforandringen har naaet Stør- relsen $\lambda$, har den ydre Kraft udviklet et Arbejde, der (Fig. 39) er repræsenteret ved Rektanglet OC₂C₃A₁, medens Legemet kun har konsumeret det ved Trekanten OC₂C fremstillede Arbejde. Bevægelsen vil ikke standse, førend det udviklede Arbejde er lig det forbrugte, hvilket først er Tilfældet, naar Forlængelsen er bleven OB₂ = 2.OA₂; den tilsvarende Spænding er B₂B = 2.A₂A. Punktet B kaldes den dynamiske Ligevægtsstilling, Punktet A den statiske; hvis Kraften voxede jævnt, saa der stadig var Ligevægt mellem den og de indre Spændinger, vilde Forlængelsen kun blive OA₂. Naar Kraften strax virker med sin fulde Størrelse, vil altsaa baade Spænding og Formforandring blive dobbelt saa store som de til statisk Ligevægt svarende. Naar Bevægelsen er standset i B, vil der ikke være statisk Ligevægt, Formforandringen vil derfor aftage, svinge forbi den statiske Ligevægtsstilling til den anden Side o. s. v. og tilsidst paa Grund af ufuldstændig Elasticitet o. l. standse i denne.

2) Legemet er paavirket af en Kraft P_min., og den dertil svarende Ligevægtsstilling O₁ (Fig. 40, Pl. 5) har indstillet sig; Kraften faar pludselig en Tilvæxt, saa den bliver P_max.. Forholdene ville da stille sig, ganske som om Begyndelsespunktet O var flyttet til O₁; der vil først blive dynamisk Ligevægt i B, idet B₃B = P_max. – P_min.. Den hele dynamiske Spænding bliver:

B₂B = P_max. + (P_max. – P_min.) = P_max. + Variationen.

Denne Formel gælder ogsaa, hvis P_max. og P_min. have modsat Fortegn, og kan i det hele bruges, naar Kraften pludselig varierer mellem en højere og en lavere Værdi, naar blot Punktet B ikke falder udenfor Gyldighedsgrænsen for Hooke's Lov. Ogsaa her vil der indtræde Svingninger om den statiske Ligevægtsstilling A.

3) En Vægt Q falder ned fra Højden h og træffer en lodret prismatisk Stang, der ved Stødet paavirkes til Strækning eller Sammentrykning. I den dynamiske Ligevægtsstilling er Formforandringen $\lambda _{1}$, Resultanten af Spændingerne P₁. Vægten Q har da gennemløbet Vejen $h+\lambda _{1}$, og ved at sætte det udviklede Arbejde lig det forbrugte faas:

$Q(h+\lambda _{1})={\frac {1}{2}}P_{1}.\lambda _{1}$.

Kaldes den til Kraften Q svarende statiske Formforandring $\lambda$, haves:

${\frac {P_{1}}{\lambda _{1}}}={\frac {Q}{\lambda }}$,

hvorved:

$\lambda (h+\lambda _{1})={\frac {1}{2}}\lambda _{1}^{2}$,

$\lambda _{1}=\lambda +{\sqrt {\lambda ^{2}+2\lambda h}}$,

$P_{1}=Q\left(1+{\sqrt {1+{\frac {2h}{\lambda }}}}\right)$.

For h = 0 findes heraf: $\lambda _{1}=2\lambda$, P₁ = 2Q, stemmende med Resultatet ovenfor. For $h=4\lambda$ faas: $\lambda _{1}=4\lambda$, P₁ = 4Q, og man ser i det hele, at den dynamiske Spænding voxer meget hurtigt med h. Naar h er saa stor, at $\lambda$ kan regnes som forsvindende i Sammenligning hermed, faar man:

$\lambda _{1}={\sqrt {2\lambda h}}$, $P_{1}=Q{\sqrt {\frac {2h}{\lambda }}}$,

hvilket man strax vilde finde ved at bortkaste Arbejdsmængden $Q.\lambda _{1}$^[1].

Exempel. Hvor stor en Faldvægt Q kan den i Exemplet i § 14 behandlede Rundjærnsstang med Diameter 4,6cm taale, naar Fiberpaavirkningen ikke maa overskride 750 kg./cm.², og naar Faldhøjden h = 2m.?

Til Spændingen 750 kg./cm.² svarer en Formforandring 0,19cm., som beregnet i § 14, og denne Værdi maa $\lambda _{1}$ ikke overskride. Af Tilnærmelsesformlen findes da

$\lambda ={\frac {0,19^{2}}{400}}=0,00009cm.$,

og derefter $Q={\frac {EF\lambda }{l}}={\frac {2000000\cdot 16\cdot 0,00009}{500}}=5,7kg$.

I Stedet for at benytte denne Tilnærmelsesformel kan man lige saa let direkte gøre Brug af Udtrykket for Stangens Deformationsarbejde i Ligning (2) og sætte:

$Q\cdot 200={\frac {{\sigma _{1}}^{2}}{2E}}\cdot V={\frac {750^{2}}{2\cdot 2000000}}\cdot 16\cdot 500=1125\operatorname {kg.cm.}$

1. En nærmere Undersøgelse af Virkningen af Stød paalangs findes f. Ex. i Flamant: Résistance des matériaux, Paris 1886.