Teknisk Elasticitetslære/16

by Asger Ostenfeld

§ 16. Variabelt Tværsnit. Hidtil har det paavirkede Legeme været forudsat fuldstændig prismatisk; Formlerne kunne imidlertid temmelig let anvendes, selv om dette ikke er Tilfældet, naar blot Legemet har en retlinet Axe, der indeholder Tyngdepunkterne af alle Tværsnit vinkelret paa denne Axe (Omdrejningslegemer o. l.). Kraftretningen skal da falde i Axen.

Man lægger en Række Snit vinkelret paa Axen og uendelig nær ved hinanden og anvender de tidligere fundne Formler paa de mellem Snittene liggende uendelig tynde Skiver. For en saadan Skive med Tykkelse dx og Tværsnit F haves Forlængelsen ifølge Ligning (1 a):

$d\lambda ={\frac {Pdx}{EF}}$,

hvoraf

$\lambda =\int _{0}^{l}{\frac {Pdx}{EF}}$.

Naar man her kender F og P som Funktioner af x, kan Integrationen udføres.

Forlængelsen pr. Længdeenhed $\epsilon$ er her variabel,

$\epsilon ={\frac {d\lambda }{dx}}={\frac {P}{EF}}={\frac {\sigma }{E}}$.

Hvis Kraften P er konstant, ses $\epsilon$ at være størst i det Tværsnit, hvis Areal er mindst; dette maa derfor — naturligt nok — lægges til Grund ved Dimensionsbestemmelsen. Denne udføres saa forøvrigt, idet $\sigma$ og $\epsilon$ ogsaa her ere proportionale, ved Ligningen $P=F_{0}.r$, hvor F₀, er det mindste Tværsnitsareal.

Som Anvendelse heraf plejer man at beregne Formen af en lodret Stang, der er ophængt i sin ene Ende og skal bære en i den anden Ende ophængt Vægt P foruden sin egen Vægt, idet Fiberpaavirkningen skal være den samme i alle Snit (Fig. 41, Pl. 5). Tværsnittet af Stangen, skal være en Cirkel, og da Kraften voxer opad, maa Tværsnittet ligeledes voxe opad.

Det nederste (mindste) Tværsnit har Radius $\rho _{0}$, bestemt af:

$\pi {\rho _{0}}^{2}.r=P$.

I Afstanden x fra den nederste Ende er Radius $\rho$; Kraften er her $P+Q_{x}$, hvor Q_x er Vægten af Længden x af Stangen. Det konsekutive Tværsnit har Radius $\rho +d\rho$ og skal bære $P+Q_{x}+dQ_{x}$, hvor $dQ_{x}=q.\pi \rho ^{2}.dx$ der, idet Vægtfylden kaldes q; dette Snits Areal er: $\pi \rho ^{2}+2\pi \rho .d\rho$.

Altsaa haves:

$(\pi \rho ^{2}+2\pi \rho d\rho )r=P+Q_{x}+q.\pi \rho ^{2}dx$,

$\pi \rho ^{2}.r=P+Q_{x}$,

hvoraf:

${\frac {d\rho }{\rho }}={\frac {q}{2r}}.dx$,

og ved Integration, idet x = 0 giver $\rho =\rho _{0}$:

${\frac {\rho }{\rho _{0}}}=e^{{\frac {q}{2r}}x}$,

der er Ligningen for Legemets Meridiankurve. Forlængelsen findes her overmaade let, da Spændingen er konstant:

$\lambda =\int _{0}^{l}\epsilon dx={\frac {r}{E}}\int _{0}^{l}dx={\frac {rl}{E}}$.

Den fundne Form gælder selvfølgelig ogsaa for Tryk. Den kunde tænkes anvendt for høje, fritstaaende Bropiller (Mellempiller), men faar ingen praktisk Betydning, fordi man af andre Grunde maa gøre det mindste Tværsnit større end nødvendigt for den direkte Trykpaavirkning.