Teknisk Elasticitetslære/23

by Asger Ostenfeld

§ 23. Vridning af en Cylinder med vilkaarligt Normalsnit. Ovenfor have vi gjort forskellige Forudsætninger, som ganske vist ville vise sig at være opfyldte for et cirkulært Tværsnit, men som ogsaa kun slaa til for et saadant. Vi have navnlig forudsat, at Normalsnittene blive ved at være Planer; imidlertid er det ifølge § 19 bekendt, at der ikke kan optræde Forskydningsspændinger i Normalsnittet, uden at det samme vil være Tilfældet i Planer vinkelret derpaa, og disse med Axen parallele Forskydningsspændinger ville i Almindelighed bevirke, at Normalsnittet netop ikke holder sig plant. — Endvidere regnede vi ovenfor Forskydningsspændingen i et vilkaarligt Punkt af Normalsnittet som vinkelret paa Radius; dette er rigtigt for en cirkulær Cylinder, hvor de oprindelig retlinede Frembringere antage Form af Skruelinier, men for et andet Tværsnit kan det ikke være rigtigt, hvilket indses ved at gaa ud til Konturen; her maa Forskydningsspændingen være rettet efter Tangenten. Vi skulle se, hvorledes man kan gennemføre Beregningen uden disse Forudsætninger.^[1]

Vi lægge (Fig. 51, Pl. 6) som ovenfor to konsekutive Normalsnit i Legemet og betragte et uendelig lille Prisme med lodrette Kanter og med sine Endeflader beliggende i Normalsnittene; den nederste Endeflade dannes af Arealelementet om Punktet A. Formforandringen bestaar i en ren Forskydning, hvorved den øverste Endeflade kommer hen til Punktet A'. For at faa et Udtryk for Spændingen maa man have fat paa den Vinkel $\phi$, der er et Maal for Forskydningen. $\phi$ er Komplement til Vinklen mellem Prismets Kanter og Endeflade, efterat Formforandringen har fundet Sted, men man maa her erindre, at Prismets Endeflade ikke er bleven liggende i det oprindelige Normalsnit. Dette har antaget Form af en krum Flade $z=f(x,y)$, og Prismets Endeflade ligger i Tangentplanen til denne Flade i Punktet A med Koordinaterne x, y, z. $\phi$ er altsaa Vinklen mellem denne Flades Normal N i A og Linien AA'.

Man har nu Spændingens Størrelse $\tau =G.\operatorname {tg.} \phi$; for ogsaa at faa dens Retning bestemt ville vi søge dens Komposanter $\tau _{x}$ og $\tau _{y}$ efter Koordinataxerne x og y; z-Axen er den Axe, hvorom Vridningen finder Sted. Idet Formforandringen $\operatorname {tg.} \phi$ betragtes som en lille Størrelse, kan man sætte $\operatorname {tg.} \phi =\phi$ og behandle Vinklens Projektioner paa xz- og yz-Planerne paa samme Maade. Man har da: $\tau _{x}=G.\operatorname {tg.} \phi '$, hvor $\phi '$ er Projektionen af $\phi$ paa xz-Planen, og naar Normalen N er projiceret i $N_{L}$ (Fig. 51), haves med Figurens Betegnelser: $\phi '=\alpha +\beta$. Ved Behandlingen af den cirkulære Cylinder havdes $\beta =0$ og $\phi '=\alpha$; endvidere $\operatorname {tg.} \phi =\vartheta .\rho$, hvoraf $\operatorname {tg.} \phi '=-\vartheta .y$ ($\vartheta .\rho$ afsættes i Retningen $A_{V}A'_{V}$ og projiceres paa x-Axen); her er altsaa $\operatorname {tg.} \alpha =-\vartheta .y$. $\operatorname {tg.} \beta$ er som bekendt lig ${\frac {\delta z}{\delta x}}$, hvorefter man har:

$\tau _{x}=G\operatorname {tg.} \phi '=G(\operatorname {tg.} \alpha +\operatorname {tg.} \beta )=G\left({\frac {\delta z}{\delta x}}-\vartheta y\right)$,

(a).

og paa samme Maade findes:

$\tau _{y}=G\left({\frac {\delta z}{\delta y}}+\vartheta x\right)$.

(b).

Vi tænke os dernæst, at det betragtede uendelig lille Prisme om Punktet A er et retvinklet Parallelopipedum med Kanterne dx, dy, dz (Fig. 52, Pl. 6). I dettes nederste Flade, AB, virke Spændingerne $\tau _{x}$ og $\tau _{y}$, altsaa maa der i AC virke en Spænding $\tau _{x}$, i BD: $-(\tau _{x}+d\tau _{x})$, i AD: $\tau _{y}$, i BC: $-(\tau _{y}+d\tau _{y})$; der virker ingen Normalspændinger. Ligevægten fordrer, at Summen af de lodrette Kræfter er Nul, hvorved:

$\tau _{x}dydz-(\tau _{x}+{\frac {\delta \tau _{x}}{\delta x}}dx)dydz+\tau _{y}dxdz-(\tau _{y}+{\frac {\delta \tau _{y}}{\delta y}}dy)dxdz=0$,

eller

${\frac {\delta \tau _{x}}{\delta x}}+{\frac {\delta \tau _{y}}{\delta y}}=0$

og ved Indførelse af de ovenfor fundne Værdier af $\tau _{x}$ og $\tau _{y}$:

${\frac {\delta ^{2}z}{\delta x^{2}}}+{\frac {\delta ^{2}z}{\delta y^{2}}}=0$,

(c).

hvilket er Differentialligningen for den Flade, hvorefter Normalsnittet har krummet sig.

Som i Indledningen til denne Paragraf bemærket, have vi endnu en Betingelse, der skal tilfredsstilles: ude ved Normalsnittets Omkreds er Forskydningen rettet efter Omkredsens Tangent. Derved faas (Fig. 51):

$\operatorname {tg.} \gamma ={\frac {dy}{dx}}={\frac {\tau _{y}}{\tau _{x}}}$,

(d).

hvilken Betingelse skal være opfyldt i alle Punkter af Omkredsen (med Ligningen $F(x,y)=0$).

Hvis man nu ved Integration af Ligning (c) har faaet den Flade bestemt, hvorefter Normalsnittet vil krumme sig, kender man ${\frac {\delta z}{\delta x}}$ og ${\frac {\delta z}{\delta y}}$ i Ligningerne (a) og (b) og derved Spændingens Variation, og man kan da opskrive Ligevægtsbetingelsen for det ydre vridende Moment og de indre Kræfter i et Normalsnit ganske som for den cirkulære Cylinder.

Vi ville søge Betingelser: for, at Normalsnittet holder sig plant. Den Flade $z=f(x,y)$, hvorefter Normalsnittet krummer sig, skal i saa Fald have Ligningen: z = C, hvorved aabenbart Differentialligningen (c) er tilfredsstillet. Ligning (d) bliver da ved Hjælp af (a) og (b) til:

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}$,

som er Differentialligningen for Normalsnittets Omkreds. Dens Integration giver:

$x^{2}+y^{2}=C$.

Udviklingen i § 21 for en cirkulær Cylinder er altsaa korrekt.

Vi ville dernæst undersøge Vridningen af en elliptisk Cylinder. Normalsnittet har Ligningen:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$,

hvorved Ligning (d) bliver:

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {b^{2}x}{a^{2}y}}={\frac {\tau _{y}}{\tau _{x}}}$.

Dette Forhold mellem Spændingerne gælder foreløbigt kun ude ved 0mkredsen, men vi ville prøve, om det ikke kan gælde for alle Tværsnittets Punkter.

Hvis vi sætte:

$\tau _{x}=Ay$, $\tau _{y}=Bx$,

faas af Ligningerne (a) og (b):

${\frac {\delta z}{\delta x}}={\frac {A}{G}}y+\vartheta y$, ${\frac {\delta z}{\delta y}}={\frac {B}{G}}x-\vartheta x$,

og ved Differentiation heraf ses, at Ligning (c) er tilfredsstillet; den antagne Spændingsfordeling er altsaa rigtig. Ved Integration af de to Ligninger faas:

$z=\left({\frac {A}{G}}+\vartheta \right)yx+\phi (y)$, og $z=\left({\frac {B}{G}}-\vartheta \right)xy+\psi (x)$,

Og da disse to skulle være identiske, maa:

${\frac {A}{G}}+\vartheta ={\frac {B}{G}}-\vartheta =K$ og $\phi (y)=\psi (x)=C$,

hvorved

$z=Kxy+C$.

Normalsnittet krummer sig altsaa efter en hyperbolsk Paraboloide.

Da

${\frac {A}{G}}+\vartheta ={\frac {B}{G}}-\vartheta$,

og da

${\frac {\tau _{x}}{\tau _{y}}}=-{\frac {a^{2}y}{b^{2}z}}={\frac {Ay}{Bx}}$, altsaa ${\frac {A}{B}}=-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}.$

faar man:

$A=-{\frac {2a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\vartheta G$, $B={\frac {2b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\vartheta G$.

Nu har man, at det ydre vridende Moment skal være lig Momentet af alle de forskydende Kræfter i Normalsnittet. For et Arealelement dxdy er Forskydningens Moment lig:

$(\tau _{y}.x-\tau _{x}.y)dxdy$,

altsaa:

$M_{v}=\iint (Bx^{2}-Ay^{2})dxdy={\frac {2\vartheta G}{a^{2}+b^{2}}}\iint (b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2})dxdy$,

hvor Integrationen udstrækkes over hele Tværsnittet. Man finder:

$M_{v}={\frac {2\vartheta G}{a^{2}+b^{2}}}(b^{2}.{\frac {1}{4}}\pi a^{3}b+a^{2}.{\frac {1}{4}}\pi b^{3}a)$,

$M_{v}=\pi \vartheta G{\frac {a^{3}b^{3}}{a^{2}+b^{2}}}$,

hvoraf Vridningsvinklen kan beregnes.

Forskydningsspændingen i det vilkaarlige Punkt (x, y) er:

$\tau ={\sqrt {\tau _{x}^{2}+\tau _{y}^{2}}}={\sqrt {A^{2}y^{2}+B^{2}x^{2}}}$.

Ved Differentiation under Benyttelse af Ellipsens Ligning findes heraf, idet $a>b$, at største Spænding optræder for $x=0$, $y=\pm b$, altsaa i Endepunkterne af den lille Axe. Hvis man derimod regnede ganske som ved den cirkulære Cylinder, altsaa under Forudsætning af plane Normalsnit efter Formforandringen, vilde man finde den største Spænding længst borte fra Axen, d. v. s. i Endepunkterne af den store Axe.

Maximumsværdien af $\tau$ bliver:

$\tau _{max}=2\vartheta G{\frac {a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {2M_{v}}{\pi ab^{2}}}$;

herved kan Bæreevnen undersøges, idet $\tau _{max}$ ikke maa overskride den tilladelige Paavirkning f, altsaa:

$M_{v}={\frac {1}{2}}\pi fab^{2}$.

Paa lignende Maade som her vist for Ellipsen kunne andre Tværsnit behandles; rektangulært Tværsnit f. Ex. har langt større praktisk Betydning end elliptisk, men Undersøgelsen er vanskeligere paa Grund af Omkredsens Diskontinuitet. Saadanne Beregninger have givet følgende almindelige Resultater:

Bæreevnen er givet ved:

$M_{v}=nf{\frac {I_{min.}}{b}}$,

(10).

Vridningsvinklen pr. Længdeenhed ved:

$\vartheta =n_{1}{\frac {I_{p}M_{v}}{GF^{4}}}$,

(11).

hvor $I_{min.}$ betegner det mindste Inertimoment af Tværsnittet, $I_{p}$ det polære Inertimoment, F Tværsnitsarealet.

b betegner en Længde, n og n₁ Talværdier, nemlig:^[2]

Tværsnitsform		b	n	n1
Cirkel		Radius	2	$4\pi ^{2}=39,5$
Cirkelring		udv. Radius
Ellipse		lille Halvaxe	2	$4\pi ^{2}=39,5$
Ellipsering		udv. —
Rektangel,	${\frac {b}{h}}=1$	mindste Side	${\frac {8}{3}}$	42,68
—	$-={\frac {1}{2}}$	»	»	42,0
—	$-={\frac {1}{4}}$	»	»	40,2
—	$-={\frac {1}{8}}$	»	»	38,5
Ligesidet Trekant		Siden	1,385	45,0
Regulær Sexkant		»	1,694	41,0

For et Rektangel med Siderne b og h faas saaledes:

$M_{v}={\frac {8}{3}}f{\frac {{\frac {1}{12}}b^{3}h}{b}}={\frac {2}{9}}fb^{2}h$.

$\vartheta =n_{1}{\frac {{\frac {1}{12}}(b^{3}h+bh^{3})}{Gb^{4}h^{4}}}M_{v}={\frac {n_{1}}{12}}{\frac {b^{2}+h^{2}}{b^{3}h^{3}}}{\frac {M_{v}}{G}}$.

Koefficienterne $n_{1}$ ere saa lidt forskellige, at man sædvanlig sætter $n_{1}=40$, uafhængigt af Tværsnitsformen.

Alle de her udviklede eller blot anførte Formler gælde selvfølgelig kun indenfor Proportionalitetsgrænsen, og ved Forsøg til Verifikation af dem maa følgelig denne Grænse ikke overskrides. Der kan derfor ikke godt være Tale om Verifikation af andre Formler end (11) hvor man kan maale sammenhørende Værdier af $\vartheta$ og $M_{v}$.

Her skal nævnes nogle Forsøg af Bauschinger.^[3]

1. Smedeligt Jærn. Som Middeltal af 13 Forsøg med cirkulære Cylindre med 10cm. Diameter og kvadratiske Prismer af samme Materiale, med Sidelinie 10cm. fandtes:

${\frac {\mbox{Vridningsvinkel for cylinder}}{\mbox{Vridningsvinkel for Prisme}}}={\frac {1}{0.696}}$,

medens Formel (11) giver: ${\frac {1}{0.698}}$.

De enkelte Forsøgsresultater varierede dog betydeligt (fra 1:0,633 til 1:0,747).

2. Støbejærn. Som Middeltal af 2 Forsøg med Stænger af følgende Tværsnit:

a.	Cirkel,		Vridningsvinkel	$=\vartheta _{a}$
b.	Ellipse,	${\frac {a}{b}}={\frac {2}{1}}$,	—	$=\vartheta _{b}$
c.	Kvadrat		—	$=\vartheta _{c}$
d.	Rektangel,	${\frac {b}{h}}={\frac {1}{2}}$	—	$=\vartheta _{d}$
e.	—	${\frac {b}{h}}={\frac {1}{4}}$	—	$=\vartheta _{e}$

	$\vartheta _{a}$	:	$\vartheta _{b}$	:	$\vartheta _{c}$	:	$\vartheta _{d}$	:	$\vartheta _{e}$
fandtes følgende Forhold:	1	:	1,24	:	1,20	:	1,47	:	9,65
medens Formel (11) giver:	1	:	1,25	:	1,13	:	1,40	:	9,10.

Støbejærn følger imidlertid slet ikke Hooke's Lov, saa man kan ikke vente nøjagtig Overensstemmelse.

Til Brudforsøg komme vi tilbage i et følgende Afsnit.

1. Problemet er navnlig behandlet af de Saint-Venant. Fremstillingen her følger nærmest den af Flamant (Resistance des matériaux, Paris, 1886) givne.
2. Se f. Ex. C. Bach: Elasticität und Festigkeit, 2^te Aufl. Berlin, 1894, s. 175 og 199.
3. Bach: Elasticität und Festigkeit. 2^te Aufl. Berlin, 1894. S. 198 o. f.