Teknisk Elasticitetslære/24

by Asger Ostenfeld

IV. Bøjning.

§ 24. Almindelig Behandling af en lige Bjælke med konstant Tværsnit, idet Kraftplanen er en Symmetriplan.

En Bjælke bliver bøjet, naar den er paavirket af ydre Kræfter vinkelrette paa Længderetningen. Disse ydre Kræfter maa naturligvis først og fremmest selv være i Ligevægt, og idet vi her antage alle Kræfterne parallele og beliggende i samme Plan, faas derved to Ligevægtsbetingelser:

$\sum P=0$, $\sum Px=0$;

(12)

x-Axen er lagt i Bjælkens Længderetning, y-Axen vinkelret derpaa.

De ydre Kræfter ere to Slags: givne aktive Kræfter (Belastningen) og Understøtningsreaktionerne; de sidstes Størrelse er ikke bekendt forud, men til deres Bestemmelse tjener netop Ligningerne (12). Herved kan der bestemmes to ubekendte, og hvis Bjælkens Understøtninger ere saaledes beskafne, at der optræder to ubekendte Reaktioner og ikke flere, er Bestemmelsen mulig ved (12) alene, og Bjælken kaldes statisk bestemt. Er der kun én ubekendt Reaktion, vil der ikke kunne være Ligevægt, med mindre begge Ligningerne (12) tilfældigvis af sig selv skulde være tiltredsstillede, altsaa kun for en speciel Størrelse eller Virkemaade af de aktive ydre Kræfter; ved en lille Variation i Belastningens Størrelse forstyrres Ligevægten strax, hvorfor en saaledes understøttet Bjælke ikke kan anvendes til Bygningskonstruktioner. — Er der endelig flere end to ubekendte Reaktioner, ville de statiske Ligevægtsligninger (12) alene ikke være tilstrækkelige til deres Bestemmelse; Bjælken kaldes statisk ubestemt. Som vi senere skulle se, er Beregningen dog mulig, naar man tager Ligningerne til Bestemmelse af Formforandringerne til Hjælp.

Under indvirkning af disse Kræfter vil Bjælken antage en krummet Ligevægtsform. Fibrene paa den konvexe Side ville blive forlængede (strakte), paa den konkave Side forkortede (sammentrykkede), og idet der maa være en kontinuerlig Overgang fra Strækning til Sammentrykning, maa der et eller andet Sted i Legemet findes et Lag Fibre, som beholde deres oprindelige Længde; dette Lag kaldes den neutrale Flade. Foruden de her omtalte Træk- og Trykspændinger optræder der, som vi skulle se, i Almindelighed ogsaa Forskydningsspændinger i Bjælkens Tværsnit.

Vi skulle nu se at finde det tilstrækkelige Antal Relationer mellem Spændingerne i et Normalsnit i Bjælken og de ydre Kræfter. For at simplificere Sagen forudsætte vi, at Bjælken har en Symmetriplan (efter Længderetningen) og at alle de ydre Kræfter virke i denne Plan. Vi kunne da tænke os ogsaa alle de indre Kræfter i et Normalsnit flyttede hen i samme Plan, idet de Kraftpar, der maa tilføjes ved Flytningen af Kræfterne fra to symmetriske Elementer, ophæve hinanden. — Den omtalte Symmetriplans Skæringslinie med den neutrale Flade kaldes Bjælkens neutrale Linie; paa Grund af Symmetrien skæres endvidere den neutrale Flade af Tværsnittets Plan i en vinkelret paa Symmetriplanen, og den neutrale Flade er altsaa en Cylinder med denne Skæringslinie, Tværsnittets neutrale Axe, som Frembringer, den neutrale Linie som Ledelinie.

Vi lægge et Normalsnit i Bjælken: der skal da være Ligevægt mellem alle de ydre Kræfter paa den ene Side af Snittet og de indre Kræfter i Snittet; de sidste ville i Almindelighed være dels Normalspændinger, dels Forskydninger. Da alle Kræfter tænkes virkende i Symmetriplanen, faa vi saaledes tre Ligevægtsbetingelser af den almindelige Form:

$\sum Y=0$, $\sum X=0$, $\sum (Yx-Xy)=0$,

(13).

idet vi lægge x-Axen i det ubøjede Legemes Længderetning.

Ved den nærmere Undersøgelse af disse Ligninger ville vi gøre Brug af følgende to Forudsætninger: Bjælkens Formforandringer betragtes som forsvindende (i Sammenligning med Længden), og Normalsnittene antages at holde sig plane. Ligningerne (13) gælde selvfølgelig først, efterat Bjælken har antaget sin krumme Ligevægtsform, men ifølge den første Forudsætning regne vi dog med de oprindelige Koordinater til Kræfternes Angrebspunkter. Tværsnittene i Bjælken, der oprindelig stode vinkelret paa x-Axen, dreje sig ved Bøjningen en lille Vinkel, men ikke desto mindre regne vi Normalspændingerne i Tværsnittet som parallele med x-Axen, de forskydende Spændinger parallele med y-Axen.

Vi ville nu undersøge Betydningen af hver af Ligningerne (13) for sig.

Den første indeholder kun Kræfter i y-Axens Retning, altsaa dels alle de ydre Kræfter f. Ex. til venstre for Snittet ab (Fig. 53 Pl. 6), herunder indbefattet Understøtningernes Reaktioner, dels de forskydende Spændinger i Snittet. Resultanten af Forskydningerne kaldes T; det er den eneste ubekendte i Ligningen. Denne kan med Betegnelserne i Fig. 53 skrives:

$P_{1}+P_{2}+\ldots P_{m}+T=0$,
$T=-\sum _{1}^{m}P$.	(14)

T maa regnes med Fortegn i samme Retning som Kræfterne ellers; vi vedtage y-Axens positive Retning som den positive Kraftretning. Det almindeligst forekommende Tilfælde er en vandret Bjælke med lodret Belastning, og i saa Fald lægge vi y-Axen med sin positive Retning nedad og regne altsaa ogsaa Kraftretningen positiv nedad.

Ved Ligning (14) faa vi kun Resultanten af Forskydningsspændingerne bestemt; til Størrelsen af Spændingen i de enkelte Tværsnitspunkter skulle vi senere vende tilbage. — Ligning (14) indeholder Kræfterne tilvenstre for Snittet; man kunde naturligvis lige saa godt have taget Kræfterne til højre for Snittet, hvorved:

$P_{m+1}+P_{m+2}+\ldots P_{n}+T_{1}=0$,

$T_{1}=-\sum _{m+1}^{n}P$.

Imidlertid er ifølge Ligning (12):

$\sum _{1}^{m}P+\sum _{m+1}^{n}P=0$, altsaa $T=-T_{1}$.

Dette Resultat er paa Forhaand indlysende, idet T og $T_{1}$ staa i samme Forhold til hinanden som Aktion og Reaktion. T betegner Indvirkningen af Bjælkestykket til højre for Snittet paa det til venstre, $T_{1}$ indvirkningen af Stykket til venstre paa det til højre.

Forskydningen i et Tværsnit er altsaa lig Summen af Kræfterne paa den ene Side af Snittet; dens Fortegn er i og for sig ligegyldigt, da det, forstaaet paa rigtig Maade, kan være baade positivt og negativt. — Man bruger undertiden Betegnelsen Transversalkraft for det samme; her ville vi hellere tillægge hvert af disse Ord sin bestemte Betydning. Ved Forskydning ville vi forstaa den indre Kraft, der virker i Snittets Plan og søger at bevirke en Forskydningsformforandring, hvorimod Transversalkraften for Snittet skal betegne Resultanten af de ydre Kræfter paa den ene Side af Snittet, ogsaa i Henseende til Beliggenhed. Størrelsen af Forskydning og Transversalkraft er altsaa den samme, Beliggenheden forskellig; Fortegnet er ligegyldigt for Forskydningen, for Transversalkraften ville vi derimod vedtage, at den skal være lig Resultanten af Kræfterne til venstre for Snittet, altsaa positiv, hvis denne Resultant virker i den positive Kraftretning. Transversalkraften betegnes i det følgende ved Q.

Den anden af Ligningerne (13) indeholder kun Kræfter i x-Axens Retning, altsaa kun Normalspændingerne i det betragtede Snit. For at finde et Udtryk for dem maa vi bruge Formforandringerne som Gennemgangsled. — Som ovenfor bemærket ville nogle Fibre blive forlængede ved Bøjningen, andre forkortede. Hvis vi derfor betragte to oprindelig parallele, konsekutive Normalsnit AA og BB (Fig. 54, Pl. 6), kunne de ikke under Bøjningen vedblive at være parallele, men da vi forudsætte, at de fremdeles holde sig plane, maa de nu danne en lille Vinkel med hinanden og skære hinanden i Afstanden $\rho$ fra den neutrale Linie OO; $\rho$ er Krumningsradius for den neutrale Linie i det betragtede Punkt. I Afstanden y fra OO vil den derværende Fiber være forlænget eller forkortet et Stykke $\lambda$, og man har Spændingen $\sigma$ i dette Punkt bestemt ved:

$\sigma =E\epsilon =E{\frac {\lambda }{dx}}$.

Af Figuren findes imidlertid:

${\frac {\lambda }{dx}}={\frac {y}{\rho }}$,

hvorved Spændingen

$\sigma ={\frac {E}{\rho }}y$,

(15)

og Kraften paa Arealelementet dF af Tværsnittet:

$dS=\sigma dF={\frac {E}{\rho }}ydF$.

dS er et Træk, hvis y er positiv, Tryk, hvis y er negativ. Ifølge Ligningen (13) haves nu:

$\int dS=0$,

og idet Hooke's Lov antages at gælde (E konstant), og idet $\rho$ er den samme, saalænge vi befinde os i samme Tværsnit, faas:

${\frac {E}{\rho }}\int ydF=0$, eller altsaa $\int ydF=0$,

hvor Integrationen skal udstrækkes over hele Tværsnittet. Denne Ligning udtrykker, at Tværsnittets statiske Moment med Hensyn til den neutrale Axe (Linien gennem 0, vinkelret paa Papirets Plan) skal være Nul, altsaa at den neutrale Axe gaar gennem Tværsnittets Tyngdepunkt. Vi have her tillige set, at Normalspændingerne i et Tværsnit ere proportionale med Afstandene fra den neutrale Axe ($\rho =C.y$) og altsaa grafisk fremstillede som Ordinater til en ret Linie gennem O. Hvis vi sammensætte alle de strækkende Kræfter til en Resultant S, og ligeledes alle de trykkende Kræfter til en Resultant S', haves $S=-S'$, saa S og S' danne et Kraftpar.

I den tredie af Ligningerne 13 indeholder det ene Led — $\sum Xy$ — kun Normalspændingerne i Tværsnittet, det andet — $\sum Yx$ — kun de ydre Kræfter og Forskydningen T. Vælge vi imidlertid som Momentcentrum et Punkt af Kraften T's Retningslinie — Skæringslinien mellem Tværsnittets Plan og Symmetriplanen —, bliver Forskydningens Moment Nul, og Leddet $\sum Yx$ indeholder kun Momentet af de ydre Kræfter paa den ene Side af Snittet; vi ville kalde det M. Dette Moment skal nu være lig Momentet af Kraftparret S, S', dannet af Normalspændingerne.

Vi tage Momenterne med Hensyn til Punktet O (Fig. 54); Kraften paa Arealelementet i Afstanden y fra O er ${\frac {E}{\rho }}ydF$, og dens Moment altsaa ${\frac {E}{\rho }}y^{2}dF$. Summen af alle den Slags Momenter faas ved Integration over hele Tværsnittets Areal, saa at den sidste af Ligningerne (13) nu kan skrives:

$M={\frac {E}{\rho }}\int y^{2}dF={\frac {E}{\rho }}I$.

(16)

hvor I betegner Tværsnittets Inertimoment med Hensyn til den neutrale Axe.

Vi fandt ovenfor (15) Loven for Normalspændingernes Fordeling over Tværsnittet; nu kunne vi ved Ligning (16) finde deres Størrelse. (16) giver nemlig: ${\frac {E}{\rho }}={\frac {M}{I}}$, hvorved Ligning (15) bliver til:

$\sigma ={\frac {E}{\rho }}y={\frac {M}{I}}y$.

(17)

Største Spænding optræder i de længst fra den neutrale Axe fjernede Punkter ($y=e_{1}$ eller $y=e_{2}$, Fig 54) og er:

$\sigma _{max.}={\frac {M}{I}}e_{1}$ eller $\sigma _{min.}={\frac {M}{I}}e_{2}$.

(l7a)

Ved Ligningerne (16) og (17) kan man løse de forskellige Opgaver, der kunne stilles, under Forudsætning af at der ses bort fra Forskydningen, hvad vi her ville gøre. I Almindelighed er Forskydningsspændingernes Indflydelse paa f. Ex. Formforandringerne temmelig lille i Sammenligning med Normalspændingernes, dog just ikke altid forsvindende; vi skulle i § 39 komme tilbage hertil.

Dimensionsbestemmelsen udføres i Almindelighed saaledes, at den største Normalspænding (givet ved 17a) ikke overskrider den tilladelige Paavirkning til Træk ($r_{1}$) eller Tryk ($r_{2}$). Dette er for saa vidt rigtigt, som Forskydningsspændingen er Nul for $y=e_{1}$ eller $y=e_{2}$ (ifølge § 19), men dermed er det rigtignok ikke givet, at den resulterende Spænding ikke kan være større i et andet Punkt, hvor Normalspændingen ganske vist er mindre, men hvor der tillige optræder en Forskydning; vi skulle i § 68 nærmere undersøge dette Spørgsmaal, og det vil da vise sig, at det næsten altid er tilstrækkeligt at tage Hensyn til de yderste Fibre og altsaa at sørge for, at Normalspændingen her ikke bliver for stor.

For specielle Materialer, der have en særlig lille Modstandsevne overfor Forskydningsspændinger, f. Ex. Træ, i Længderetningen, kan det dog blive Forskydningsspændingerne alene, der bestemme Dimensionerne (se § 38, Slutningen, og § 57, Slutningen).

Naar man kender Belastningen, kan man finde M, og idet man i Ligningerne (17a) indfører den tilladelige Paavirkning i Stedet for $\sigma _{max.}$ eller $\sigma _{min.}$ kan man ved disse Ligninger bestemme ${\frac {e_{1}}{I}}$ eller ${\frac {e_{2}}{I}}$ der alene ere Funktioner af Tværsnittets Dimensioner. Derimod kan man i Almindelighed ikke direkte beregne de enkelte Tværsnitsdimensioner — f. Ex. for rektangulært Tværsnit: Bredde og Højde —, da man kun har den ene Ligning til Raadighed. Der er da ikke andet at gøre end ved Forsøg at finde et Tværsnit, for hvilket Funktionen ${\frac {I}{e_{1}}}$ eller ${\frac {I}{e_{2}}}$ har den forlangte Størrelse.

Man indfører sædvanligt en særlig Benævnelse for denne Funktion, nemlig Modstandsmomentet, der betegnes ved W; Modstandsmomentet er af Dimensionen cm.³. Ligningerne til Dimensionsbestemmelsen blive da:

$M=r_{1}W_{1}$ eller $M=r_{2}W_{2}$,

(18).

eller for Tværsnit, der ere symmetriske om den neutrale Axe ($W_{1}=W_{2}$), og for hvilke den tilladelige Paavirkning til Træk og Tryk ere lige store ($r_{1}=r_{2}$):

$M=rW$.

(18 a).

Naar alle Tværsnit have mindst det saaledes bestemte Modstandsmoment, er Bjælken stærk nok, men den nødvendige Størrelse af W kan tilvejebringes paa mange Maader, og i Almindelighed gælder det om at vælge det mest økonomiske, altsaa at skaffe et saa stort W som muligt med det mindst mulige Tværsnitsareal. En nærmere Undersøgelse af dette Forhold for de forskellige Tværsnitsformer findes i § 33.

Selv om man nu ved at give Bjælken et Tværsnit med tilstrækkelig stort Modstandsmoment har sørget for, at den bliver stærk nok, er det ikke dermed givet, at den er stiv nok; det kan være, at Nedbøjningerne blive større end ønskeligt. Som tilladelig Grænse for Nedbøjningernes Størrelse sættes ofte ved Husbygningsarbejder (det er i Almindelighed kun ved saadanne, der kan være Fare for utilstrækkelig Stivhed) ${\frac {1}{600}}-{\frac {1}{800}}$ af Bjælkens Længde, og det kan undertiden være denne Fordring, der alene bliver bestemmende for Dimensionerne; inden vi kunne indlade os paa at opstille Formler herfor, maa vi imidlertid have en Relation mellem de ydre Kræfter og Nedbøjningerne.

Bestemmelsen af Formforandringen udføres ligeledes ved Ligning (16), der kan skrives:

${\frac {1}{\rho }}={\frac {M}{EI}}$.

Idet vi her forudsætte konstant Tværsnit, altsaa I konstant, og tillige E konstant, ses af Udtrykket for $\rho$, at naar Momentet er konstant, vil Bjælken bøje sig efter en Cirkelbue. I Almindelighed vil imidlertid M variere fra Punkt til Punkt, altsaa være givet som en Funktion af x, og man indfører da Krumningsradiens Værdi:

$\rho ={\frac {\left[1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$,

hvorved man faar Differentialligningen for Bjælkens neutrale Linie. Idet man dernæst igen benytter sig af Forudsætningen. at Nedbøjningerne y ere smaa Størrelser i Forhold til Bjælkens Længde, kan man betragte ${\frac {dy}{dx}}$ som forsvindende i Sammenligning med 1, hvorved den neutrale Linies Differentialligning bliver:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=\pm {\frac {M}{EI}}$.

(19).

Det dobbelte Fortegn i (19) hidrører fra, at Fortegnet for $\rho$ er ubestemt — ligesom foreløbig Fortegnet for M. M betyder Momentet af de ydre Kræfter paa den ene Side af Snittet, altsaa Transversalkraftens Moment; hvis det kun drejer sig Om den absolute Størrelse af M, er det ligegyldigt, om man tager Momentet af Kræfterne paa den ene eller den anden Side af Snittet, idet ifølge Ligning (12) disse to Momenter have Summen Nul, altsaa ere lige store med modsat Fortegn. For at komme ud over Ubestemtheden for Fortegnets Vedkommende vedtage vi imidlertid ved M altid at forstaa Momentet af Kræfterne til venstre for Snittet; hvis dette drejer i samme Retning som Viserne paa et Uhr, er M positivt. Idet vi betragte Bjælkestykket til venstre for et vilkaarligt Snit, skal Momentet af Normalspændingerne i Snittet holde Ligevægt med M, altsaa være modsat drejende, og heraf følger, at et positivt M bevirker Tryk foroven, Træk forneden i Bjælken i dette Snit, altsaa at Bjælken i dette Punkt kommer til at vende Konkaviteten opad. Retningen af Kurvens Konkavitet er imidlertid bestemt ved Fortegnet for ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$, og idet vi ovenfor have vedtaget at regne y positiv nedad, skal Ligning (19) for at være korrekt med Hensyn til Fortegnet skrives:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {M}{EI}}$.

(19 a).

Heraf findes den neutrale Linies^[1] Ligning ved to Integrationer, hvorved der indkommer to Konstanter. Disse kunne bestemmes, hvis man kender et tilstrækkeligt Antal sammenhørende Værdier af x og y eller ${\frac {dy}{dx}}$ og saadanne leveres af Understøtningspunkterne. — Bjælken kan være understøttet paa forskellig Maade. En simpel Understøtning er en saadan, der tillader Bjælken frit at dreje sig om Understøtningspunktet; den giver kun en Enkeltkraft som Reaktion, altsaa kun én ubekendt, og den leverer kun ét Par sammenhørende Værdier af x og y. En Indspænding er derimod en saadan Understøtning, der umuliggør enhver Drejning af Bjælken i dette Punkt; Tangenten til den neutrale Linie er den samme før og efter Bøjningen. Den leverer altsaa et Sæt sammenhørende Værdier af x, y og ${\frac {dy}{dx}}$. Reaktionen bestaar her baade af en Enkeltkraft og et Kraftpar og kræver altsaa Bestemmelsen af to ubekendte. Kraftparret er nødvendigt for at hindre Drejning af Tangenten; ved en simpel Understøtning optræder derimod intet Moment. Naar Bjælken skal være statisk bestemt, maa der, som ovenfor udviklet, kun være to ubekendte Reaktioner at bestemme; heraf følger, at en statisk bestemt Bjælke kun kan være understøttet ved én Indspænding, men ved to simple Understøtninger. En Bjælke med en simpel Understøtning og en Indspænding eller med to Indspændinger eller med flere end to simple Understøtninger o. s. v. er statisk ubestemt.

1. Den neutrale Linie benævnes ogsaa ofte »den elastiske Linie«.