Teknisk Elasticitetslære/25

by Asger Ostenfeld

§ 25. Inden vi føre den almindelige Behandling videre, ville vi anvende det nu udviklede paa et specielt Exempel, en kan ved den ene Ende indspændt Bjælke AB (Fig. 55, Pl. 6). Belastningen bestaar af to Enkeltkræfter $P_{1}$ og $P_{2}$, Reaktionen i Indspændingspunktet af en lodret Enkeltkraft A og et Kraftpar $M_{a}$, der regnes positive i de i Fig. ved Pilespidser angivne Retninger. Koordinatsystemet lægges med Begyndelsespunkt i Indspændingspunktet, x-Axen positiv til højre, y-Axen positiv nedad.

Til Bestemmelse af A og $M_{a}$ haves Ligningerne (12):

$A+P_{1}+P_{2}=0$,

$M_{a}+P_{1}x_{1}+P_{2}x_{2}=0$,

hvoraf:

$A=-(P_{1}+P_{2})$, $M_{a}=-(P_{1}x_{1}+P_{2}x_{2})$.

Dernæst ville vi finde Transversalkræfterne Q og Momenterne M for de forskellige Snit i Bjælken.

Transversalkraften i et Punkt med Abscisse x, beliggende mellem $P_{1}$ og $P_{2}$, er lig Resultanten af Kræfterne til venstre for Punktet, altsaa Resultanten af $P_{1}$, A og $M_{a}$. Her er det imidlertid lettere at finde Resultanten af Kræfterne til højre for Snittet; man skal da blot forandre Fortegnet for at have Transversalkraften; ganske det samme gælder om Momentet i Punktet.

Saaledes faas:

$Q_{x}=-P_{2}$, $M_{x}=-P_{2}(x_{2}-x)$.

Disse Udtryk gælde kun, saalænge det betragtede Punkt ligger mellem $P_{1}$ og $P_{2}$. Hvis Punktet ligger mellem $P_{2}$ og B, findes der slet ingen Kræfter til højre, altsaa er her $Q_{x}=0$, $M_{x}=0$. Hvis endelig Punktet x ligger mellem A og $P_{1}$, faas:

$Q_{x}=-(P_{1}+P_{2})$, $M_{x}=-P_{2}(x_{2}-x)-P_{1}(x_{1}-x)$.

Vi kunne nu danne os et Billede af Transversalkraftens og Momentets Variation; fra Axen $A'B'$ er Transversalkraften afsat som Ordinat opad, Momentet nedad (Fig. 55). Transversalkraften er konstant mellem de enkelte Kræfter, saa man faar den aftrappede Linie $B'A_{1}$; Højden af Trinnet ved $P_{1}$ er lig Størrelsen af Kraften $P_{1}$, Transversalkraften ved A er lig Reaktionen A. Momentet er mellem to Kræfter fremstillet ved Ordinaterne til en ret Linie; af Udtrykkene for $M_{x}$ ovenfor ses, at de forskellige rette Linier (mellem de forskellige Kræfter) skære hinanden paa Kraftlinierne, hvorfor Momentkurven bliver en Polygon som $B'A_{2}$. Maximumsmomentet faas ved Indspændingen, og det er lig $A'A_{2}=-(P_{1}x_{1}+P_{2}x_{2})$; naar Bjælkens Tværsnit er konstant, maa det være dette største Moment, der bliver bestemmende for Dimensionerne.

Exempel. $P_{1}=1,5\operatorname {ts}$, $P_{2}=0,6\operatorname {ts}$, $x_{1}=0,4\operatorname {m}$, $x_{2}=1,5\operatorname {m}$. Bjælken skal være af Træ (Halvtømmer), for hvilket den tilladelige Fiberpaavirkning kan regnes til 60 kg./cm.² ($r_{1}=r_{2}$). Største Moment findes (numerisk) at være:

$M_{max.}=1,5\times 0,4+0,6\times 1,5=1,5\operatorname {tsm.}$.

Af Ligning (18 a) findes det nødvendige Modstandsmoment

$W={\frac {M_{max.}}{r}}={\frac {150000}{60}}=2500\operatorname {cm.^{3}}$.

For et rektangulært Tværsnit med Siderne b og h (b parallel med den neutrale Axe) er $W={\frac {1}{6}}bh^{2}$; her skal specielt $b={\frac {1}{2}}h$, hvorved

$W={\frac {1}{12}}h^{3}=2500$, $h=31,1\operatorname {cm.}$.

Tværsnittet skal altsaa være $15,6\times 31,1\operatorname {cm.}$, ($6''\times 12''$ Halvtømmer).

Transversalkræfter og Momenter kunne ogsaa let findes grafisk (§ 6 og § 10). Man tegner blot en Tovpolygon til de givne Kræfter (Fig. 56, Pl. 6). Idet vi, som ovenfor bemærket, lettest tage Kræfterne til højre for det betragtede Punkt, faas Momentet i Punktet C at være lig h.y, hvor h betegner Poldistancen, y det Stykke, der afskæres paa den lodrette Linie gennem C af Tovpolygonsiderne før og efter de betragtede Kræfter. I Punktet C, faas paa samme Maade $M=h.y_{1}$, og i det hele ser man, at Momenterne ere fremstillede ved Ordinaterne til Tovpolygonen, maatte ud fra den forlængede første Side; den skraverede Flade kaldes Momentfladen. Momentmaalestokkens Enheder ere ${\frac {1}{h}}$ af Kraftmaalestokkens, idet h maales paa Længdemaalestokken. Transversalkraften i Punktet C er Resultanten af Kræfterne til højre for C med modsat Fortegn, altsaa her naturligvis lig $P_{2}$; hvis man havde en hel Række Kræfter til højre for C, kunde man imidlertid finde Transversalkraften lige saa let, nemlig som det Stykke, der i Kraftpolygonen afskæres af et Par Straaler, parallele med de af Snittet overskaarne Tovpolygonsider. Et System af Kræfter faas nemlig ved Tovpolygonen erstattet med to enkelte Kræfter. virkende i Tovpolygonsiderne før og efter alle Kræfterne (og det er netop disse Tovpolygonsider, der træffes af Snittet), og hvis Størrelser angives af de tilsvarende Straaler i Kraftpolygonen; Transversalkraften er nu Resultant af disse to Kræfter, altsaa i Størrelse lig den tredie Side i den Trekant i Kraftpolygonen, der bestemmes af de to nævnte Polstraaler. — Q's Retningslinie gaar gennem de overskaarne Tovpolygonsiders Skæringspunkt.

Vi gaa dernæst over til at bestemme den neutrale Linie. Da Momentet er udtrykt som en diskontinuert Funktion af x, maa den neutrale Linie være sammensat af flere Kurvestykker, idet Overgangen fra det ene til det andet sker i Kræfternes Retningslinier. Imidlertid kan Bjælken ikke bøje sig saaledes, at der forekommer pludselige Knæk i den neutrale Linie, og de forskellige Kurver, hvoraf denne er sammensat, maa derfor tangere hinanden i Sammenstødspunkterne (se ogsaa næste Paragraf).

For Bjælkestykket $A-P_{1}$ haves:

$EI{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-M_{x}=P_{2}(x_{2}-x)+P_{1}(x_{1}-x)$,

hvoraf:

$EI{\frac {dy}{dx}}=(P_{1}x_{1}+P_{2}x_{2})x-{\frac {1}{2}}(P_{1}+P_{2})x^{2}+C$

og

$EIy={\frac {1}{2}}(P_{1}x_{1}+P_{2}x_{2})x^{2}-{\frac {1}{6}}(P_{1}+P_{2})x^{3}+Cx+C_{1}$.

Idet x = 0 skal give y = 0 og ${\frac {dy}{dx}}=0$, findes C = 0, $C_{1}=0$.

For Bjælkestykket $P_{1}-P_{2}$ haves:

$EI{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-M_{x}=P_{2}(x_{2}-x)$;

efter Udførelsen af Integrationerne bestemmes Konstanterne derved, at $x=x_{1}$ skal give de samme Værdier for y og ${\frac {dy}{dx}}$ her som i de ovenfor fundne Ligninger for Bjælkestykket $A-P_{1}$.

Endelig har man for Bjælkestykket $P_{2}-B$:

$EI{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0$,

hvor Integrationskonstanterne bestemmes ved, at man skal finde samme Værdier af y og ${\frac {dy}{dx}}$ ved at sætte $x=x_{2}$ i Ligningerne her og i Ligningerne for Bjælkestykket $P_{1}-P_{2}$. Ved at gennemføre Beregningerne finder man Ligningen for den neutrale Linie paa Stykket $P_{2}-B$:

$EIy={\frac {1}{2}}(P_{1}x_{1}^{2}+P_{2}x_{2}^{2})x-{\frac {1}{6}}(P_{1}x_{1}^{3}+P_{2}x_{2}^{3})$;

herved fremstilles en ret Linie, hvilket Resultat man kunde vide paa Forhaand, da ingen Kræfter virke til Bøjning af dette Stykke af Bjælken. Nedbøjningen i den frie Ende af Bjælken er, idet AB = l,

$y_{l}={\frac {l}{2EI}}(P_{1}x_{1}^{2}+P_{2}x_{2}^{2})-{\frac {1}{6EI}}(P_{1}x_{1}^{3}+P_{2}x_{2}^{3})$.

Exempel. For den i Talexemplet ovenfor behandlede Bjælke findes, idet l = 2,0m., og idet E regnes til 120000 kg./cm.²:

$I={\frac {1}{12}}\cdot 15,6\cdot 31,1^{3}=39100{\mbox{cm}}^{4}$.

$P_{l}x_{1}^{2}+P_{2}x_{2}^{2}=1500\cdot 40^{2}+600\cdot 150^{2}=15900000{\mbox{kg. cm.}}^{2}$.

$P_{1}x_{1}^{3}+P_{2}x_{2}^{3}=2121000000{\mbox{kg. cm.}}^{3}$.

$y_{l}=0,26{\mbox{cm}}$.

Forøvrigt kan ingen Beregning, der er opstillet under Forudsætning af Homogenitet, gælde nøjagtigt for et saa uhomogent Materiale som Træ, saa et Resultat som dette er ikke meget paalideligt.