Teknisk Elasticitetslære/3
§ 3. Kræfter, der ligge paa en vilkaarlig Maade i en Plan. For at sammensætte saadanne Kræfter maa man
foruden Kraftpolygonen, der giver Resultantens Størrelse og
Retning ogsaa tegne en Tovpolygon, der giver Beliggenheden.
De givne Kræfter virke efter Linierne 1, 2, 3 (Fig. 3 a. Pl. 1). Man begynder med at tegne Kraftpolygonen ABCD (Fig. 3 b, Pl. 1) og vælger dernæst et vilkaarligt Punkt O — Polen —, hvorfra man trækker Linier til Kraftpolygonens Vinkelspidser. Nu skrider man til Konstruktion af Tovpolygonen (Fig. 3 a): parallelt med AO trækkes en vilkaarlig Linie I, fra dens Skæringspunkt med Kraftlinien 1 trækkes Linien II ≠ BO, dernæst III ≠ CO o. s. v., indtil man ender med Linien IV ≠ DO. I, II, III, IV er da Tovpolygonen.
Man tænker sig nu Kraften 1 opløst efter I og II; den hertil nødvendige Krafttrekant er AOB, hvoraf ses, at 1 kan erstattes af Kræfterne AO og OB i Linierne I og II. Kraften 2 opløses paa samme Maade efter II og III, og af Krafttrekanten BOC faas Komposanternes Størrelse og Retning at være BO og OC, o. s. v. I Linien II virker der altsaa de to lige store og modsat rettede Kræfter OB og BO, ligeledes i III Kræfterne OC og CO; kun i den første og sidste Tovpolygonside, I og IV, haves kun én Kraft liggende.
Ved den angivne Konstruktion er det oprindelige Kraftsystem følgelig erstattet med de to enkelte Kræfter AO og OD, virkende i Linierne I og IV, og derved have vi tillige fundet Resultanten af alle Kræfterne, da den nemlig gaar gennem Skæringspunktet for I og IV og i Størrelse og Retning er bestemt ved AD.
Ved at vælge Polen O forskelligt kan man faa uendelig mange Tovpolygoner, og deres Antal forøges endnu en Gang i det uendelige derved, at man kan trække den første Side vilkaarligt; da de givne Kræfter imidlertid kun have én Resultant, maa første og sidste Side i alle Tovpolygonerne skære hinanden paa dennes Retningslinie.
Tovpolygonen giver os naturligvis Resultanten af hvilke som helst paa hinanden følgende Kræfter; Siden før og efter de betragtede Kræfter — altsaa hvilke som helst to Tovpolygonsider — maa følgelig skære hinanden paa samme rette Linie, enten de høre til den ene eller den anden af de uendelig mange Tovpolygoner.
For at der kan være Ligevægt, maa for det første Kraftpolygonen lukke sig. Dette er imidlertid ikke tilstrækkeligt, (Fig. 4, Pl. 1), idet Kraftsystemet i saa Fald som Regel vil reduceres til et Kraftpar. For at ogsaa dette skal forsvinde, maa dets Arm være Nul, d. v. s. Tovpolygonsiderne I og II skulle falde ud ad samme Linie, Tovpolygonen maa lukke sig. Denne Betingelse ses ogsaa at være tilstrækkelig. De nævnte Ligevægtsbetingelser stemme med den bekendte analytiske Form, der forlanger, at Kræfternes Projektioner paa to vilkaarlige Linier og at Kræfternes Momenter med Hensyn til et vilkaarligt Punkt skulle være Nul.
Til at bestemme en Tovpolygon fordres der tre Betingelser. Valget af Polen svarer nemlig til to Betingelser (ensbetydende med Valget af Retningen af to Tovpolygonsider), og desuden kan den første Side trækkes gennem et vilkaarligt Punkt.